三角函数值规律精品(七篇)

序论：写作是一种深度的自我表达。它要求我们深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隐藏在内心深处的真相，好投稿为您带来了七篇三角函数值规律范文，愿它们成为您写作过程中的灵感催化剂，助力您的创作。

篇(1)

1. 概念理解不透彻

例1 在RtABC中，各边的长度都扩大3倍，那么锐角A的三角函数值（ ）.

A. 都扩大3倍 B. 都扩大4倍

C. 不能确定 D. 没有变化

【错解】A.

【分析】三角形三边都扩大3倍后的三角形与原三角形相似，所以直角边与斜边或直角边与直角边的比值不变. 错解没有真正理解三角函数的概念.

【正解】D. 三角函数的值是直角边与斜边或直角边与直角边的比值，大小只与角的度数有关，与边的大小无关.

2. 忽视求三角函数的限制条件

例2 （2012・江西内江）如图1，ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）.

A. B.

C. D.

【分析】在本题的解答过程中，根据sinA=，部分同学会错误地得出sinA=，导致结果与选项不符，要么随便选一个，降低了正确率，要么开始重新审题，浪费了宝贵的考试时间. 这个错误的根源在于没有真正理解正弦的概念，没有掌握锐角三角函数的使用条件：在直角三角形中. 因此本题需先寻找∠A所在的直角三角形，而图中∠A所在的ABC并不是直角三角形，这就需要添加辅助线，构造直角三角形. 如图1，连接CD，得到CDAB，sinA===.

在斜三角形中求三角函数值时往往需要作高（形内或者形外）构造直角三角形.

3. 忽视分类讨论

例3 RtABC的两条边分别是6和8，求其最小角的正弦值.

【错解】6和8是直角三角形的两边，斜边是10，最小角的正弦值是.

【分析】已知条件中并没有指明6和8是两条直角边，所以本题应分两种情况：

（1） 6和8是两条直角边；

（2） 6是直角边，8是斜边.

很多同学错在忽视了第2种情况.

【正解】当6和8是两条直角边时，斜边是10，所以最小角的正弦值是.

当6是直角边，8是斜边时，则另一直角边是=2，所以最小角的正弦值是=. 综上可知，最小角的正弦值是或.

4. 忽视锐角三角函数的范围

例4 已知α为锐角，4tan2α-3=0，求tanα.

【错解】4tan2α-3=0，tan2α=，

tanα=±.

【分析】锐角三角函数值等于相应直角三角形的边的比，所以tanα>0.

【正解】4tan2α-3=0，tan2α=，tanα=

±. tanα>0，tanα=.

锐角三角函数值都是正数，在求解时不能忘记.

5. 混淆特殊角三角函数值的变化规律

例5 锐角α满足

A. 30°

C. 45°

【错解】A.

【分析】正弦值与正切值都随锐角度数的增大而增大，而余弦值是随锐角度数的增大而减小. 本题错在没有准确掌握特殊角的三角函数，将特殊角的三角函数值张冠李戴，混淆了锐角的正弦值、余弦值的变化规律.

【正解】cos60°=，cos45°=，又余弦值随锐角度数的增大而减小，cos60°

在锐角范围内，正弦与正切可以看成是单调递增函数，即度数大三角函数值就大；而余弦正好相反.

6. 主观臆断

例6 在RtABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，则sin=______.

【错解】sinA===，

sin=.

【分析】本题错在将∠A的一半的正弦值看作是∠A的正弦的一半，两者显然不等. 如sin60°=，而sin30°=. 本题正确的解法是先求出∠A的度数，然后再求其正弦值.

【正解】sinA===，

∠A=60°，∠A=30°. sin=.

求一个角一半的三角函数值，应先求出这个角的度数，然后再求其三角函数值，一定不能用三角函数值的一半作为角的一半的三角函数值.

篇(2)

1、简单、清楚，突出三角函数最重要的性质──周期性．采用"单位圆定义法"，对于任意角?，它的终边与单位圆交点P(x，y)唯一确定，这样，正弦、余弦函数中自变量与函数值之间的对应关系，即角 （弧度）对应于点P的纵坐标y──正弦；角 （弧度）对应于点P的横坐标x──余弦。可以得到非常清楚、明确的表示，而且这种表示也是简单的。另外，"x= cos ?，y= sin ?是单位圆的自然的动态（解析）描述，由此可以想到，正弦、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表述"，其中，单位圆上点的坐标随着角?每隔2π（圆周长）而重复出现（点绕圆周一圈而回到原来的位置），非常直观地显示了这两个函数的周期性。

"终边定义法"需要经过"取点──求距离──求比值"等步骤，对应关系不够简洁；"比值"作为三角函数值，其意义（几何含义）不够清晰； "从角的集合到比值的集合"的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的"数集到数集"的对应关系不一致，而且"比值"需要通过运算才能得到，任意一个角所对应的比值的唯一性（即与点的选取无关）也需要证明；"比值"的周期性变化规律也需要经过推理才能得到．以往的教学实践表明，许多学生在结束了三角函数的学习后还对三角函数的对应关系不甚了了，与"终边定义法"的这些问题不无关系。

2、有利于构建任意角的三角函数的知识结构。"单位圆定义法"以单位圆为载体，自变量?与函数值x，y的意义非常直观而具体，单位圆中的三角函数线与定义有了直接联系，从而使我们能方便地采用数形结合的思想讨论三角函数的定义域、值域、函数值符号的变化规律、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、周期性、单调性、最大值、最小值等。

在学习弧度制时，学生对引进弧度制的必要性较难理解。

"单位圆定义法"可以启发学生反思：采用弧度制度量角，就是用单位圆的半径来度量角，这时角度和半径长度的单位一致，这样，三角函数就是以实数（弧度数）为自变量，以单位圆上点的坐标（也是实数）为函数值的函数，这就与函数的一般定义一致了。另外，我们还可以这样来理解三角函数中自变量与函数值之间的对应关系：把实数轴想象为一条柔软的细线，原点固定在单位点A（1，0），数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上，负半轴顺时针缠绕在单位圆上，那么数轴上的任意一个实数（点） 被缠绕到单位圆上的点P(cos ，sin )。 转贴于

3、符合三角函数的发展历史。三角函数发展史表明，任意角的三角函数是因研究圆周运动的需要而产生的，数学史上，三角函数曾经被称为"圆函数"。所以，采用"单位圆定义法"能更真实地反映三角函数的发展进程。

早在古希腊时代，人们就知道"相似三角形的对应边成比例"，这是三角函数的根源，也是其本质所在，所以三角函数起源于几何中的边角关系。三角函数的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。到了近代，人们将三角函数作为一般的函数来研究它们的代数性质。现代数学把它们描述成无穷无穷级数或微分方程的解，将其定义扩展到复数系。映射也是贯穿高中数学的一条主线，是人们思考问题时一种非常重要的对应关系。

4、有利于后续学习。前已述及，"单位圆定义法"使三角函数反映的数形关系更直接，为后面讨论三角函数的性质和图像奠定了很好的直观基础。不仅如此，这一定义还能为"两角和与差的三角函数"的学习带来方便，因为和（差）角公式实际上是"圆的旋转对称性"的解析表述，和（差）化积公式也是圆的反射对称性的解析表述。另外，这一定义中角的度量直接采用了弧度制，能为微积分的学习带来方便。例如，重要极限 几乎就是定义的一个"推论"。

篇(3)

如何将任意角的三角函数值问题转化为00～3600角三角函数求值问题

问题1：求390的正弦、余弦值

设计意图：数学教学应当从问题开始。先安排求特殊值，再过渡到一般情形，此转符合学生的身心特点和认知规律，意在培养学生从特殊到一般归纳问题和抽象问题的能力，引导学生在研究三角函数求职时抓坐标、抓角终边之间的关系。同时首先考虑+2KЛ（KZ）与三角函数值之间的关系，正是体现了新课程中三角函数被看成刻画现实。

二、教后思考分析

1、关于教学设计定位的思考。就三角函数的诱导公式来说，教学设计定位时一般会出现以下几种倾向：其一，定位于知识的学习，通过学习，学生知道存在一些公式，可以将任意角的三角函数进行一些转化。其二，定位于公式的学习，通过学习，学生努力分析和总结各组公式的形式规律，对“函数名不变，符号看象限”等口诀死记硬背，并追求灵活运用等解题能力的培养。其三，强调对过程的深入理解和对公式推导的细致聚焦。其四，在关注知识学习的同时，渗透数学思想方法的理解和领悟。从对教材的分析来看，苏教版教材将三角函数作为一种数学模型来定位，力图在单位圆中借助对称性来考察对应点的坐标关系，这样处理的好处是避免了任意角的象限分类和化归，起到了利用直观的对称这个工具和研究手法去研究诱导公式的变化规律的目的，揭示了代数和几何的有机结合和统一。从实际教学效果来看，学生对这样的处理方式还是比较容易领悟和理解的

2、对角a的任意性的理解。在这节课中，角a的任意性是一个教学难点，为此我们设置了三个点（1）问题2中非30°不可吗？角α行不行？（2）几何画板拖动演示感受角α的任意性（3）习题中进一步深化学生认识，随着学生学习的深入，对这个问题还会有进一步的认识。事实上，有许多同学在一开始是将角α当成锐角去处理的，但我再教学中不过分强调角α的任意性，因为对待数学知识的教学不能一步到位，不应毕其功于一役，而应力求顺其自然，水到渠成。

3.关于诱导公式作用的分析。在公式一的教学之后，学生认识到有了这组公式，可以将任意角转化成0°～360°角，如果在公式二的推导完成后，我能引导学生认识到如果将角α看成锐角，那么π?Da就是第二象限角，这样就可以将第二象限角的三角函数值与第一象限建立联系，同样，第三、四组诱导公式推导之后也做类似的工作，这样学生对于诱导公式的作用认识可能会更深刻。

4、关于教学评价分析，我们觉得本次的教学设计和学生认知水平基本吻合。如果学生的基础薄弱一些，我们会设计问题的指向性会更明确，为学生搭建更多的脚手架，基础性的练习要更多一些。

篇(4)

【关键词】数学公式；简化；规律

数学公式是数学知识和数学教学的重要组成部分，但由于数学公式具有高度的抽象性和概括性，学生对公式的学习积极性不高，大部分学生更多地停留在知识的记忆层面，并且数学公式又比较多，对于学习任务较重的学生来讲，更是增加了学习负担.作为占主导地位的教师来讲，就要培养学生自己归纳、总结数学公式，洞察内在的联系，从而提高学生的学习兴趣和成就感.作者就三个示例阐述如何将数学公式化繁为简，展示数学公式的魅力.

一、特殊角的三角函数值

在三角函数值的学习过程中，0°，30°，45°，60°，90°占据重要的地位，它们所对于的三角函数值起着基础性的作用.而三角函数的值是从直角三角形边的比值推导得来，对于学生来讲，理解不是难事情，但是在以后的运用中若需要三角函数值，不可能再去推导和查阅公式，学生必须记忆，繁多的公式对于学生来讲是一件难事情，常见教材或者工具书的三角函数表如下：

在这个简化的公式表中，各个函数值的分子具有较强的规律性，对于学生来讲具有一定的新颖感，也便于学生记忆.

二、三角形、平行四边形和梯形的面积公式

在大多数的教材中，三角形、平行四边形和梯形的面积公式都只是单纯的给出公式，并没有给出这几个公式的联系，如下表.

作为占主导和引导地位的老师来讲，在学习完这些公式，就应该总结、归纳这些公式的内在联系：梯形的面积公式可以统领三角形和平行四边形.当梯形公式中的CD=0时，就退化为三角形，其面积S=12（AB+CD）・h=12（AB+0）・h=12AB・h；

当梯形公式中的CD=AB时，就特殊化为平行四边形，其面积为S=12（AB+CD）・h=12（AB+AB）・h=AB・h.这既可以培养学生归纳知识的能力，又可以让学生知道事物之间可以相互转化的道理.

三、椭圆与圆的面积公式

对于圆的面积公式S=πr2（r为半径），很多人都很熟悉，但是对于椭圆的面积公式S=πab（a，b为椭圆的长半轴和短半轴）就很陌生.学生在学习的过程中，应该明白圆和椭圆的特殊关系：从下图就可以清楚知道二者的内在联系，

篇(5)

旧教材对概念的引入一般都是先给出定义，然后再举相应的一些例子予以说明。这样教学逻辑性是强了，但不能照顾到学生的思维能力。而新教材中一些的问题在恰当的地方提了出来，不但引导教师的数学活动，而且能够培养学生的问题意识，带着这些问题学生可以更好的自主学习和培养学生的创新精神。在这种理念下出版的新教材相对于旧教材在问题设置方面变化较大，问题意识贯穿在整个教材的始终。对于穿插在教材中的“观察”、“思考”、“探究”、“观察与猜想”、“阅读与思考”、“探究与发现”、“信息技术应用”等拓展性栏目，有效的调节了数学课堂学习的气氛，改变了传统数学教材的呆板面目，为新教材增色不少。而且新的课程标准也强调了知识的联系性，通过不同数学内容的联系和启发，强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用，学习数学地思考问题的方式，提高学生学习数学的思维能力，培养学生的理性精神，教师都可以通过新教材中的一些设计的问题在课堂教学中由学生自主完成，很多有经验的教师都认为课堂上要大胆留给学生自主学习的空间，把学生小组合作学习与学生自主学习有机结合起来，让每个学生都积极地参与到学习中去，成为课堂上真正的主人。

在高中学生掌握的三角函数的主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、同角三角函数间的关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角的正弦、余弦和正切公式，以及三角函数的图象和性质。在旧教材中三角函数安排在第一册（下）第四章即在高一下学期进行学习。而新教材安排在必修4的第一章和第三章，根据黑龙江省的教学顺序，在高一上学期的期中考完试之后进行学习。

现在我从几个角度去分析三角函数这部分内容的新旧教材内容编写及体系设置的差异：

（1）在形式上的对比：

旧教材是36节课时，新教材是24节课时。

从教材内容先后顺序的调整，更符合学生的认知规律，体现课程标准中倡导的螺旋式的教学模式。新教材展示了研究数学所渗透的多种思想方法，如化归思想，数形结合思想，换元思想，分类讨论思想。同时在数学式子和图形的变化中，让学生领会分析、探索，类比，平移，伸缩变换等这些常用的基本方法，培养学生用数学的意识，从而使学生在获取知识和运用知识的过程中发展思维能力，提高思维品质，培养创新精神。

（二）在内容上的对比：

1、新教材引入了计算器计算。

2、任意角三角函数一节弱化了正弦线，余弦线，正切线，强调了坐标运算。

3、新教材弱化同角关系式结构，减少了tanα·cotα=1 强调运用与推导。

4、诱导公式加入了正切公式，位置与顺序做了调整。

5、新教材将两角和差的正余弦公式放在“三角函数图与性质”之后。

6、新教材将“函数y=sin(ωχ+φ) 的图象”一节放于正切函数图象之后。

7、新教材删去了“已知三角函数值求角”的内容。

8、新教材增加了“三角函数模型的应用”的内容。

9、旧教材中只有“三角函数与欧拉”，“潮汐与港口”两个阅读材料。

新教材有三种专题：

阅读与思考中包括：“三角学与天文学”和“振幅、周期、频率、相位” 。

探究与发现中包括：“函数y=Asin(ωχ+φ) 及函数y=Acos(ωχ+φ) 的周期 ”和“利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质”

信息技术应用中包括：“利用正切线画函数y=tanχ,x∈(-■,■) 图象”和“利用信息技术制作三角函数表”。

10、例题习题中出现了许多高考习题，以及方法与思维较为灵活的综合习题等。

内容的调整降低了难度，使教师在教学中既注重基础知识又加强能力的培养，我们在教学中可以依据教材的特点，教材几乎每一部分的右侧都有“？”，让学生可以在课上或课下进行积极的研究与讨论，教师在备课过程中可以设计问题教学法，引导学生带着问题进行学生。教学中注重分层教学，辅助以多媒体教学手段，编写了分层作业，其中有基础作业，能力作业等。

（三）在教学要求上： 旧教材的具体要求是：

1、使学生理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算。

2、使学生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式。

3、使学生掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力。

4、使学生能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（包括引出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。

5、使学生会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义，并通过它们的图象理解这正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数的简图，理解A、ω、φ的物理意义。

6、使学生会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示。

而新教材的具体要求是：

1、了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与度的互化。

2、借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式的正弦、余弦、正切，能画出的y=sinx,y=cosx,y=tanx图象，了解三角函数的周期性。

3、借助图象理解正弦函数，余弦函数在[0,2π] ，正切函数在(-■,■)上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。

4、理解同角三角函数的基本关系式： sin2x+cos2x=1,■=tanx.

5、结合具体实例，了解y=Asin(ωχ+φ)的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin(ωχ+φ)的图象，观察参数A,ω,φ对函数图象变化的影响。

6、会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

7、经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。

8、能以两角差的余弦公式导出两角和差和正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

9、能运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用联系转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用。

（四）教学体会及建议

1、重视诱导公式的归纳和作用：因为在其它章节中只要是与角有关系的问题,例如：解三角形中；直线的倾斜角和斜率；立体几何中的成角问题等都会涉及到诱导公式的使用。它的作用是将任意角的三角函数化为锐角三角函数，从中领会化归的数学思想及蕴含的创新意识。

2、三角函数线作为三角函数的几何表示，可适当补充一些三角函数线的应用，如比较三角函数值的大小；已知求x, 让学生增强“数形结合”的意识，培养学生运用数形结合的思想方法。也为今后学习有关内容打下基础。

3、同角公式的应用中，对于已知某任意的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值，如已知sinα+cosα求sinα,cosα。解决这个问题，关键在于如何正确运用平方根的概念，正确的进行分类。让学生自己去体会总结最佳途径，以免多走弯路。

篇(6)

一、知识体系

同角三角函数关系式、诱导公式、两角和差的公式、二倍角公式及其综合应用.

三角恒等变换是三角函数的基础，是一种重要的数学能力，要立足于教材，弄清公式的来龙去脉，同时要注意对公式的正用、逆用以及变形运用的训练，要在灵、活、巧上下功夫，以增强变换意识.

二、核心解读

1. 三角恒等变换是一种基本技能，从题型上一般表现为对三角式的化简、求值与证明. 对所给三角式进行三角恒等变换时，除需使用三角公式外，一般还需运用代数式的运算法则或公式，如平方差公式、立方差公式等. 对三角公式不仅要掌握其“原形”，更要掌握其“变形”，才能在解题时真正达到运用自如，左右逢源的境界.

2. 在运用三角公式进行三角变换时，要从函数名称和角的差异两方面综合分析，再从差异的分析中决定公式的选取. 一般变换的规律是：切割化弦，异名化同名，异角化同角，高次化低次，无理化有理.

三、近几年高考命题特点

1．考查题型以选择、填空为主，分值约占5%，10%，基本属于容易题和中档题.

2．重点考查两角和与差的三角公式和倍角公式等，其中对倍角公式灵活运用的考查是高考的热点.

四、2011年高考真题再现

考点1考查同角三角函数关系

（1）应用同角之间的平方关系、倒数关系和商数关系解决三角函数的求值、化简、证明等问题；

（2）已知一个角的三角函数值，求其他角的三角函数值时，要注意对角化简，一般是把已知和所求同时化简，化为同一个角的三角函数，然后求值.

例1（2011年全国理科卷）已知∈，，sin= ，则tan2=__________.

评析先由∈，，sin= 和 sin2+cos2=1，求得 cos＝，再由tan= ==，求得tan2= = = .

考点2考查诱导公式

（1）+2k（k∈Z），，±，±的三角函数值是化简的主要工具. 使用诱导公式前，要正确分析角的结构特点，然后确定使用的诱导公式；

（2）将不能直接使用诱导公式的角通过适当的角的变换化为能使用诱导公式的角，如：+=2+ +等（注：若k+出现时，则要分k为奇数和偶数讨论）；

（3）诱导公式的应用原则是：负化正，大化小，化到锐角为终了，特殊角能求值则求值；

（4）化简是一种不能指定答案的恒等变形，化简结果要尽可能使项数少、函数的种类少、次数低、能求出值的要求出值、无根式、无分式等.

例2(2011年辽宁理科卷)设sin= ，则sin2=_________.

评析本题考查了二倍角公式等三角函数知识.

sin2=cos=2sin2 1=2

易错提醒利用同角三角函数关系、诱导公式时，容易出现符号错误.

考点3考查两角和、差公式

两角和、差的三角函数公式是高考热点之一，其题型既有小题(选择题、填空题)，也有大题(靠前的解答题)，主要是容易题和中等题. 重点是考查基本公式的应用和恒等变换思想.

例3(2011年浙江理科卷)若0

评析因为+= ，所以cos =cos=coscos+sin ・sin= == .

技巧点拨解题的关键在于把“所求角”表示为“已知角”. ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”只有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；③常见的配角技巧：=（+），=（），= [（+）+（）]，=[（+）（）]，+= ，等等.

考点4考查形如f(x)=asinx+bcosx+k的函数

若函数f （x）的解析式通过三角恒等变换可转化为f （x）=asinx+bcosx+k的形式，则函数f （x）的解析式可化为f （x）=sin（x+）+k（其中cos= ，sin= ）的形式.

例4（2011年安徽文科卷）设f （x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f （x）≤ f 对一切x∈R恒成立. 有以下结论：①f=0；②f ＜ f ； ③f （x）既不是奇函数也不是偶函数；④f （x）的单调递增区间是（k∈Z）；⑤存在经过点（a,b）的直线与函数f （x）的图像不相交. 以上结论正确的是 _____________(写出正确结论的编号).

评析先将f （x）=asin2x+bcos2x，a，b∈R，ab≠0变形为f （x）= sin（2x+），再由f （x）≤对一切x∈R恒成立，得a，b之间的关系，然后顺次判断命题真假.

由f （x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+）及f （x） ≤对一切x∈R恒成立，知=，求得a=b>0. 所以f （x）=bsin2x+bcos2x=2bsin.

①f =2bsin=0，故①正确；

②==2bsin，故②错误；

③f （x）≠±f （x），故③正确；

④因为b>0，所以2k≤2x+≤2k+，解得k≤x≤k+，故④错误；

⑤因为a=b>0，要使经过点（a,b）的直线与函数f （x）图像不相交，则此直线与x轴平行，又f （x）的振幅为2b>b，所以该直线必与f （x）图像有交点，故⑤错误.

答案：①③.

考点5考查二倍角公式

掌握倍角公式和半角公式，运用公式进行简单的三角函数式的化简、求值以及恒等式的证明，是高考的热点.

注意以下几组常见的公式：

（1）用cos表示sin2，cos2,tan2：sin2 =；cos2 = ；tan2 = ；

（2）用cos表示sin，cos，tan：sin=±；cos=±；tan= ±；

（3）用sin,cos表示tan：tan ==.

注：上述三组公式从左到右起到一个扩角降幂的作用，从右到左起到一个缩角升幂的作用.

例5(2011年江苏卷)已知tan=2，则的值为__________.

评析因为tan2 ===，而tan= cot2x，所以tan2x=,又因为tan==2，解得tanx= ，所以的值为.

考点6考查综合应用

三角函数的化简求值是常考题型. 它往往出现在小题中，或者是解答题中的一问，其中必然渗透着简单的三角恒等变换和三角函数的性质，着重考查三角函数的基础知识、基本技能和基本方法.

例6（2011年天津理科卷）设函数f（x）=tan2x+，设∈，若f =2cos2，求的大小.

评析由f =2cos2，得tan=2cos2，即 = 2（cos2sin2），即 = 2（cossin）・（cos+sin），又因为sin+cos≠0，所以可得（cossin）2 = ，解得sin2= ，由∈，可得2∈，所以2=，=.

五、2012年高考命题趋势

1. 考查两角和差的三角函数公式，经常以小题形式出现，难度不大；

2．考查二倍角公式的运用，题型可以是小题，也可以是大题，为中档题；

3．考查三角恒等变换的化简与求值问题，一般都在大题中进行考查；

4．解答题属中、高档题目.对三角恒等变换的考查形式有稳重求变、求活和“能力立意”的命题趋势.

1．已知角的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2=_________.

2．若tan=3，则的值等于_________.

3．已知sin=+cos，且∈，则的值为___________.

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（图一）

1复习长方形的面积求法。

2教师画出平行四边形并给出定义。

3教师给出平行四边形面积公式并证明。其中每进行一步，教师都依据学生学过的知识阐述地一清二楚。（图一）

4练习。教师举出许多大小，边长，角度各不相同的平行四边形让学生算出其面积，学生都准确无误的算出来了。

表面上看，这节课的效果已达到，可当韦特海默又画了一个图（图二）让学生求面积时，大部分学生模仿老师的证明画了图也茫然，只有少数学生作了辅助线（图三），或把纸转45度，再画辅助线。

（图二）

（图三）

由此可见，大多数学生并未真正理解所学内容，只是机械记忆，盲目使用公式。学生在课堂上获取的都几乎从天而降，他们在学习过程中没有自己真正的思维活动，没有跳一跳摘到果子的喜悦，没有自己豁然开朗的东西。因此，教学中应当强调学生的主体活动，教学设计中注意创新意识根据不同的材料作为“先行组织者”；根据不同的内容选择合理的模式等等。

青年教师在教学初期一般都会有这样的感觉：学生对新课的概念部分似乎没

什么兴趣，对后面的例题举例听得倒专心些。于是不免有些教师就前面草草收场，后面再来多给题型以求见多识广。结果学生只是死记硬背，刚开始还能依葫芦画瓢，时间一长，葫芦都想不起了，就更别提画瓢了。下面我想举一个例子说明一下。

在“同角三角函数基本关系”的教学中，一般都采取这样的教学：先由三角函数定义直接推出基本关系，再举例说明关系式在三角求值，化简，证明中的应用。这样做虽然可以很快地把这些知识交给学生，可不尽人意之也很快就会在后面的复习中表现出来。比如，“已知＝求的值”一题，学生在新课练习中都会用同角关系式，但过段时间再做时，一部分中间的学生往往会出现这样的解法：由终边找出三角函数定义中的x，y，r，再求其他三角函数值。当然，我们提倡一题多解，可这些学生是提示他用关系式他会解，但自己就想不到那儿去。这就是学生反映的一听甚至一点就明白，为什么自己就想不到。而这正是学生数学思想方法存在缺陷的表现。要想让学生能做到也能想到，从而使学习处于自觉状态，是照本宣科式的教学难以实现的。数学教材为我们提供的仅仅是数学知识的一种逻辑体系，它的顺序一般是“定义──定理，公式，法则──应用”，而学生数学学习的思维活动顺序是“问题──定理，公理，法则──定义”。因此，教师要把教材提供的逻辑顺序转变为数学活动顺序，并结合学生的数学思维发展水平，安排恰当的数学课堂教学情景和数学思维活动进程，达到提高课堂效率的目的。比如刚才那个例子，从认知心理学的观点出发，教师可以结合“先行组织者”的使用来设计教学情景。

1． 复习三角函数定义。按照定义，一个角的各三角函数值是完全由它的终边所确定的，即给定角的终边，角的各个三角函数值就唯一确定了。

2． 问题：给定一个角的某个三角函数值（如正弦值），这个角的终边是否也能确定？

3． 已知＝，试确定终边的位置，以及的值。

由于学生在学习三角函数定义时已经有了用相似三角形来说明定义的合理性经验，又有“三角函数线”的知识，因此这里容易想到：如果设P（x，y）为 终边上一点，不失一般性，可令y＝4，r＝5，则x＝3于是P点坐标是（3，4）或（－3，4），故 终边确定，这个角的其他三角函数值也可以确定：。当把这些放到一起时，学生会发现既然x，y，r之间有关系，那各个三角函数之间也应该可以互相表示，而且如果有了角 的各个三角函数之间关系的一般表达式，那么像“求值”之类的问题就会变得非常容易，这样就使接下来的基本关系式的推导变得水到渠成。

以上这种设计我个人认为它不但能够使学生感到教学过程的自然，而且可使学生从中体验到如何将所考察对象的内容进行逐步扩展，这其中包括试验，猜想，联想，类比，合情推理等等，而这是培养学生独立思考能力，创造探索新知识能力的最好体现。

其实，数学思想方法是建立数学和用数学解决问题的指导思想，是处理数学问题的基本策略，是数学的灵魂。引导学生领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是使学生提高思维水平，真正懂得数学的价值，建立科学的数学观念，从而发展数学，运用数学的重要保证，也是现代教学思想与传统教学思想的根本区别之一。由于数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是一种隐性的知识内容，要通过反复体验才能领悟和运用。而数学方法要通过数学内容才能反映出来，并且要在解决问题的不断实践中才能理解和掌握。因此，在数学课本中即使是直接指出“XX思想”，“XX方法”也不一定能起到应有的作用。于是教师要贯彻好数学思想方法的教学可以考虑通过以下途径：（1）充分挖掘教材中的数学思想方法；（2）有目的，意识，计划，步骤地渗透和介绍有关数学思想方法。同时注意──a反映数学发展规律，介绍数学概念的形成背景，应用生活，数学中的矛盾设置问题；b根据教学内容渗透，介绍，突出相应的或隐含的数学思想方法；c引导学生自己探索和体验数学思想方法──三条原则。通过“直觉──试探──思索──猜想──证明”这一般过程去学习数学和数学思想方法。

我国一直有着强调数学应用价值的传统，一系列的教学大纲中都提到了要提高学生应用数学知识去分析和解决实际问题的能力。尽管如此，我们的数学教学实践还是表现出对“思维训练”的过多偏爱。教材中有关应用数学的知识也较少，即便有点，也被教师以教学进度等原因给“淡化”了。要想提高学生解决实际问题的能力，光靠几道应用题是起不到本质作用的，我们必须充分应用我们的每一节课，充分体现“观察──实验──思考──猜想──证明（或反驳）”这一数学知识的再创造过程和理解过程，展现概念的提出过程，结论的探索过程和解题的思考过程；从对数学具有归纳，演绎两个侧面的全面认识；从使个体掌握知识，形成能力和良好思维品质的全方位要求出发，去设计一个单元，一堂课的教学目标，问题提出，情景创设的教学过程的各个环节，使学生自主地进行数学学习，通过他们自己独立的思维活动来获取知识，发展思维能力和创造力，从而达到学以致用的目的。

参考文献

（1） 单尊，喻平。对我国数学教育学研究的反思，数学教育学报，第10卷第4期，2001。11。

（2） 喻平。教学设计中教师应具备的几种意识，数学通讯，2002年第23期

（3） 曹才翰，章建跃。数学教育心理学，北京师范大学出版社