数学中的分析法精品(七篇)

序论：写作是一种深度的自我表达。它要求我们深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隐藏在内心深处的真相，好投稿为您带来了七篇数学中的分析法范文，愿它们成为您写作过程中的灵感催化剂，助力您的创作。

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关键词 分析法；概念；例析

一、分析法的基本概念

分析法是从问题的结论出发寻求其成立的充分条件的证明方法.即先假定所求的结果是成立，分析使这个命题成立的条件，把证明这个命题转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么可以断定原命题成立.我们称之为“执果索因”。

要证明命题：“若A则D”思考时可以由结论D出发向条件A回溯，先假定所求的结论D成立，寻求D成立的原因，而后就各个原因分别研究，找出它们成立的条件，逐步进行下去，最后达到条件A，从而证明了命题.其思考路线如图：

D？圯C？坩B？坩…？坩A

用分析法进行证明，每一步推理都是寻找充分条件，最后找到要证命题的条件。就是说，每一对相连的判断中，后者是前者的充分条件，这样，联成一个逻辑链时，才保证了由条件A到结论D.由传递律得出，A是D的充分条件，从而证明了命题“若A则D”.分析法的证明中，每一步都是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，此处的“需知”是倒推的“中途点”。

二、例析分析法

要证明命题：“若A则D”.思考时可以由结论D出发向条件A回溯.先假定所求的结论D成立，寻求D成立的原因，而后就各个原因分别研究，找出它们成立的条件，逐步进行下去，最后达到条件A，从而证明了命题.其思考路线如图：

D？圯C？坩B？坩…？坩A

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关键词：不等式证明；高中数学；分析法；比较法

在现实生活中，既有大量的等量关系存在，同时又存在很多不等量的现象，描述这种不等量的不等式就应运而生。不等量关系是高中数学的重要研究内容，不等式的研究是其中一个重要的方面。不等式在高中数学中的地位非常重要，在历年的高考中也多有出现。因为不等式的形式多样，所以证明不等式也没有固定的章法可循。我们在平时的教学中要教育学生尽量多地运用灵活多样的方法加上大量解题积累的技巧，力争攻克这一难点。结合自己的教学实践，我总结了以下几种证明不等式的方法，仅供大家参考。

下面介绍几种常用的不等式证明方法：

一、比较法证明不等式

二、分析法证明不等式

分析法是从给出的不等式入手，通过分析，找出该不等式能够成立的条件，这样题目就从证明不等式转变为证明这些条件是否成立，如果这些条件都能够成立，就可以得出不等式成立的结论，这就是分析法。运用分析法证明不等式的思路是“寻根问源”，即从不等式开始，寻找该不等式成立的条件，进而证明不等式的成立。

三、综合法证明不等式

所以，当我们运用综合法来证明不等式的时候，一般过程就是从给出的条件出发，层层推进，经过周密的逻辑推理，运用已经掌握的定理、定义和公式等，最终达到需要证明的结论，综合法也是一种常用的不等式证明的方法。综合法与分析法是两个方面的对立统一：综合法是“由因寻果”，利用已知探求未知，具有清晰的条理，比较符合人们的日常习惯性思维；分析法是“知果找因”，这种方法的特点是指向明确、思路清晰。两种方法是对立统一的，因此在实际运用时，二者经常是相互联系的。在使用综合法证明不等式的时候，如果遇到难以入手的情况，经常会先运用分析法去探求阶梯的思路，然后再用综合法的形式将证明过程写出来，这样比较符合人们的思维习惯。在遇到难度较大的不等式证明题时，往往是既运用综合法，又运用分析法进行分析，二者相互转化、渗透，相辅相成。

四、反证法证明不等式

有些从正面证明不容易阐述清楚的不等式，就应当考虑运用反证法来证明。适合运用反证法论证的命题，多数存在诸如“唯一”“至少”或其他否定性词语。在运用反证法证明一个不等式的时候，基本的思路是：首先针对给出的命题，假定该命题结论不成立；接下来进行推理，结果出现推理结论与已知的条件相矛盾，或推理结论与已经掌握的定理或公理相矛盾；由于上述矛盾的产生，可以断定，开始的假定“该命题结论不成立”是错误的假定；所以得出结论：原命题的结论是正确的。

五、放缩法证明不等式

总而言之，作为高中数学重点内容的不等式，是继续学习高等数学的重要工具和基础知识。若要掌握如何证明不等式，就需要理解、掌握证明不等式的多种方法，还需要对这些方法融会贯通，综合加以运用。限于篇幅，本文只是列举了不等式证明的几种方法，还有更多的方法有待于继续进行研究。

参考文献：

[1]田寅生.一个不等式的推广、加强及应用[J].数学通报， 2004（2）.

[2]付荣强.讲透重点难点.吉林教育出版社，2007.

[3]胡汉明.不等式证明问题的思考方法.数学通讯，2001（9）.

[4]佟成军.一个不等式的加强及证明[J].数学通讯，2006（7）.

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本文通过图象分析法在实验教学、概念教学、练习教学及复习教学等环节中具体应用的实例，阐述图象分析法对职校物理教学的作用。

一、图象分析法在实验教学中的应用

1　用图象分析法处理实验数据。图象分析法可用于物理实验的数据分析，具有简明、直观的特点。例如，在研究弹簧长度与所受拉力关系时，以拉力大小为横坐标，弹簧长度为纵坐标，根据实验数据可以得到一条直线，此直线的斜率就是弹簧的进度系数，在纵坐标的截距就是弹簧的原长。

除了简单的线性关系外，实验中还会遇到其他较为复杂的函数关系。如理想气体等温变化时，气体压强与体积的反比关系；自由落体下落高度与下落时间的平方关系：单摆简谐振动周期与摆长之间的平方根关系等等。这些关系图线我们可采用化曲为直的方法，即通过坐标变换，将曲线图转换为直线图来加以分析。

2　用图象分析法进行误差分析。图象分析法能减小偶然误差、分析误差的成因、有效地避免错误。用于物理实验的误差分析，比解析法来得简便，而且物理意义清楚明白。如在验证牛顿第二定律的实验中，对a-F图象分析就能得到实验的误差成因，与横轴的截距表示没有平衡摩擦力，与纵轴的截距表示过度平衡摩擦力。

二、图象分析法在概念教学中的应用

1　用图象创设学习物理概念的情境。可以利用图象抓住新旧知识的逻辑创设学习物理概念的情境。新概念往往与已学过的概念、规律之间存在着有机的联系，通过图象分析，抓住新旧知识间的联系，从已有知识出发，把新概念自然地引导出来。

2　用图象分析法对感性材料进行思维加工。在概念教学中，学生在获得感性材料的基础上，他们还要运用比较、分析、综合等思维方法，对感性材料进行思维加工，进而抽象出事物的本质属性。图象分析法对这一过程有很大帮助。

例如，在“全反射”这一概念的教学中，由前面学习过的反射定律和折射定律，画出在空气(光疏介质)中传播的光射到分界面上的光路图和在玻璃(光疏介质)中传播的光射到分界面上的光路图。根据对图象的比较、分析，可以得出全反射的概念以及全反射的条件。

三、图象分析法在练习教学中的应用

1　用图象分析法直接解答问题。一些对情景进行定性分析的问题，如判断对象状态、过程是否能实现、做功情况等，运用图象分析法可以直接解答，解答往往特别简捷。

2　用图象分析法触发解题灵感。许多问题，当用其他方法较难解决时，常能从图象上触发灵感，另辟蹊径。例如，如图3-1，两端封闭的直玻璃管内有一段长度为^的水银柱将两段气柱a、6隔开，现将它浸没在热水中。这时水银柱(　)。　A.向上移　B.向下移　C.不移动　D.无法确定

四、图象分析法在复习教学中的应用

在复习教学中往往一幅物理图象可以把很多物理知识联系起来，使学生掌握知识的基本结构。有时图象分析可以解决学生困惑已久的问题，弥补知识上的缺陷。

1　用图象分析法梳理知识。物理图象往往蕴含了丰富的知识内容，在复习教学可以利用图象作知识连贯、思想引申、方法教育。

2　用图象分析法排除学生的疑难。复习课不象新课那样受教材限制，在内容和方法上有更广阔的空间。可以利用图象把学生熟悉的数学问题和物理问题进行类比。例如，对凸透镜成象，要能分析成放大(缩小)的象、实象(虚象)的条件。在分析这些条件时，很多学生觉得太繁、容易出错，而用图象分析法则可以使学生快捷正确地得出结论。

如图4-1所示的直角坐标系中。如果令OD=f那么OA就是物距u，BO就是象距w，利用BA绕C点的转动可以直观地得出f、u、v三者之间的关系。可得：图4-2，B点在v轴的上方，故成象为实象，图4-3，B点在v轴的下方，故成象为虚象。

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关键词：高中数学；不等式；解题思路

不等式是高中数学教学中的重要内容，同时也是高考中的重点和难点。因此，高中数学教师在进行不等式的教学中应当在对重要不等式进行概念讲解的基础上同时注重不等式解题思路的有效分析。

一、高中数学教学中重要不等式的简析

不等式作为高中数学教学中的重点，数学教师在进行教学时应当注重对不等式的知识点进行合理的讲解与阐述。高中数学中重要的不等式主要有均值不等式、柯西不等式、三角不等式等。以下从几个方面出发，对高中数学教学中重要不等式进行简析。

1.均值不等式

均值不等式一直是不等式中的重要考点，其中有调和平均数与几何平均数、算数平均数、平方平均数的大小关系历来是常考的内容，其中调和平均数Hn=n/（1/a1+1/a2+...+1/an）≤几何平均数Gn=（a1a2…an）（1/n）≤算术平均数An=（a1+a2+…+an）/n≤平方平均数Qn=，即调和平均数小于等于几何平均数、算数平均数、平方平均数（Hn≤Gn≤An≤Qn）

2.柯西不等式

柯西不等式是不等式中的重要内容，在高考中柯西不等式二维形式的证明是重要考点，柯西不等式二维形式的证明为（a2+b2）（c2+d2）（a，b，c，d∈R）=a2・c2+b2・d2+a2・d2+b2・c2=a2・c2+2abcd+b2・d2+a2・d2-2abcd+b2・c2=（ac+bd）2+（ad-bc）2≥（ac+bd）2，既等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立。

3.三角不等式

在三角不等式中，和差化积是学生比较难以掌握的点，和差化积的主要内容有

sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]・cos[（α-β）/2]

sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]・sin[（α-β）/2]

cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]・cos[（α-β）/2]

cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]・sin[（α-β）/2]

这四个公式也是不等式解题思路中常用的工具。

二、高中数学教学中重要不等式的解题思路

在不等式的教学过程中高中数学教师应当注重解题思路的有效应用，通过授之以渔的方法促进学生对不等式这一重要的数学内容进行有效的学习。高中数学教学中比较重要的不等式解题思路主要有比较法、分析法、综合法、放缩法等。以下从几个方面出发，对高中数学教学中重要不等式解题思路进行分析。

1.比较法

不等式中比较法的解题思路通常是通过对实数n和b进行比较，并通过变形、作差、通分、配方等一系列方法对不等式进行比较与判断。在这一过程中高中数学教师应当注重因式分解、和差化积等方面的有效应用，从而使学生对不等式比较法的解题思路有着更清晰的认识。

2.分析法

不等式法中分析法的解题思路大多从需要证明的结论出发并进行反向推导，在这一过程同通过对题目中提供的公式与数字进行分析最后得出已知条件。在进行分析法解题思路的讲解过程中高中数学教师应当注意分析法中所有推导过程都必须是可逆的。

3.综合法

高中数学教师在进行综合法的解题思路讲解时应当注重对不同的定理与公式进行综合性应用并结合题目中提供的已知条件与数字一步一步进行综合性的分析，从而得到最终要证明的结论。

4.放缩法

放缩法是高中数学中不等式的重要解题思路。放缩法主要应用在不等式的证明中，在这一过程中根据不等式的传递性，数学教师在进行公式变形时可以将一些式子与数字进行放大与缩小，从而达到有效证明的效果。在这一过程中高中数学教师应当注重教授学生放缩的尺度，促进学生放缩法解题思路应用水平的有效提升。

随着我国数学教学水平的不断进步，在高中数学教学过程中对不同的解题思路进行探索成为数学教学中的重要任务。不等式作为高中数学教学中的重点与难点，高中数学教师在进行这一部分知识的教学时应当注重对不同不等式的基础知识进行清晰的讲解。在使学生掌握了扎实的基础知识后通过对不同解题思路进行分析从而使学生能够更好地掌握这一高中数学中的重点内容。

参考文献：

[1]黄海燕.基于数学不等式解题思路的探讨[J].理科考试研究，2012，5（11）：52-55.

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1 在概念教学中培养学生的逆向思维能力

概念的定义是课本内容之一，其逆命题总是成立的。所以在平时教学中既要注重让学生记住定义内容并用它判定和解题外，也要注意应用其逆命题解决问题。从初中教学的起始阶段，就应注意学生逆向思维的培养。如，“同类项”是初一代数中的一个重要概念，为了加深学生对此概念的理解和掌握，可举下例：如果一amb，与Zazbn是同类项，那么m＝ 、n= 。开始不少学生无从下手，如果教师加强对定义的逆向运用，学生就可根据定义逆向得出m＝2、n=3。析：根据一元二次方程根的定义的逆向应用。在几何概念的定义中，定义的逆命题显得十分重要，它是培养学生逻辑思维能力的第一步，在教学中教师应反复加强对学生这方面的训练，以强化学生的逆向思维。我们来看下面例子：如果点0是线段AB的中点，那么AO=BO，AB=2AO＝2BO。

2 在命题教学中培养学生的逆向思维能力

现行教材中有不少可逆的素材，如，整式的乘法公式和因式分解、平行线的性质定理和判定定理、乘方和开方等，但不可能面面俱到。因此，教师应注意总结这些可逆素材，并对学生进行强化训练，以培养学生熟练地分析和解决问题的能力。

分析：若从正面求解至少要分三种情况考虑：①其中的一个方程有实根；②其中的两个方程有实程；③三个方程都有实根。

解法势必较为繁琐，如果反向考虑，三个方各程都没有实根，则：①运用定理如《几何》（第二册）多边形内角和定理的应用讲完后，应让学生练习已知多边形的内角和，求多边形的边数。例如，一个多边形的内角和是14400，则这个多边形的边数n。这类问题的训练有助于提高学生的逆向思维能力。②应用性质、公式和法则我们结合例子加以说明。如果平时教学中不注意对学生逆向运用性质、公式和法则这方面的训练，学生要计算此类题目是非常困难的，但是，如果教师注意培养学生逆向运用同底数幂的运算性质和积的乘方法则，那么此类题目可迎刃而解。

3 在解题教学中培养学生的逆向思维能力

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【关键词】概率统计 经济问题 市场分析

伴随数学分析方法不断的丰富，使得经济问题的研究方式亦逐渐多样化。概率统计在经济学中作为一种行之有效的分析工具，为我国经济预测以及决策等提供数据证明，对于管理水平的提升和经济效益增加具有重大的意义。下面笔者着重从回归分析法和随机抽样法的概率统计模型中探析相应的经济问题。

一、回归分析法

（一）回归分析法原理分析

回归分析法是一种较为常见的数学分析方法。在实际中多数日常市场经济现象都可以通过回归分析法来解释。回归分析法运作的原理是通过回归多元方程分析经济问题中的自变量与因变量间的关系，从而建立预测模型。在当今高速发达的实际市场经济活动中，某一经济现象的产生以及变化都是众多因素共同作用而形成，绝不只受一种因素的影响，那么经济现象与促使其形成的多种因素也就是一个因变量和几个解释变量间存在相互依存的主要和次要的关系。例如在城市房价上涨的现象上，其将受到房子供求关系、国家相关政策、物价水平、城市人口数量、城市消费水平等因素的影响，在这个实例中城市房价上涨与其上涨的各种因素之间就存在主次关系，像房屋的供求关系与国家宏观调控虽主次难分，或者像物价水平看似其的影响微不足道，但不容忽视其作用。因而在分析这一问题时可通过回归分析法来处理。下面结合实例主要介绍多元回归分析预测法的应用。

（二）实际事例分析

本文将通过采用某市统计局公布的2000～2006年年货运量数据及与之相关的一些经济指标数据进行定量分析，如表1。

（1）从上述表1可知，该市年货运总量与相关因子之间的关系需建立一个多元回归模型。设因变量y与变量x1，x2….xn存在线性关系，则多元线性回归模型的一般表现形式为：

y=β0+β1X1+β2X2+β3X3+…+βnXn+μi （i=1，2，3…n） （1）

其中，k为解释变量的数目，β0为待定系数，βi（i=1，2…n）称为偏回归系数，则方程（1）称为m元线性总体回归方程。

根据表1数据，我们将年货运总量设为因变量y，其他4个经营指标作为影响因素设为解释变量x1，x2，x3，x4，分别代表“年生产总值”、“社会消费品零售总额”、“固定资产总投资额”、“运输、邮电部门固定资产投资额”，进行多元线性回归分析。

（2）建立多元回归方程，常用最小二乘估计法求解待定系数β0和偏回归系数β1，β2…βn。即回归方程式：

l11β1+l12β2+…+l1mβm=l1yl21β1+l22β2+…+l2mβm=l2y……lm1β1+lm2β2+…+lmmβm=lmy （2）

得出β0和βi（i=1，2，3，4）的值。最终结果如下：β0=4026.614；β1=17.40676；β2=0.125370；β4=0.022603代入方程（1），最后得出回归方程为：

Y=4026.614+17.40676x1+0.125370x2+0.018223x3+0.022603x4 （3）

二、随机抽样法

（一）随机抽样法的原理

随机抽样法是概率统计模型又一较为常用用于经济现象分析的方法。市场调查是企业通过收集以及分析有关市场经济的相关信息，为市场预测及决策提供信息依据的营销活动。在日常的市场调查中，可以采用随机抽样的调查方法，并利用数理统计的相关知识，对市场进行科学的调查研究。市场经济是由很多的消费者组成，不而消费者存在很多的区别，如消费欲望、拥有的资源、存在的地理位置、购买态度和习惯等。所以在进行市场调研时，需细化市场。例如在调研现代社会的产品需求时，由于消费者年龄的差异，导致对产品追求完全不同。因此，分层抽样法在市场调研中是最为常见的方法。分层抽样法就是将总体的个抽样单位按总体的特征分划分不同的层，在来推断总体目标量。

（二）实际事例分析

为了调研某奶制品企业的需求量，抽样单位按照居民户进行，通过细化当地市场，结合当地居民的收入水平，将市场划分为4层，在划分的4层当中，我们随机抽样10户，通过调查统计结果如表2。

通过查阅相关政府机关统计资料，该地区奶制品年消费的标准差为1000元，根据调研要求误差控制在100元以内，置信水平在95%以上，则样本量为：

通过对现有资料的分析，企业决定根据实际情况采用分层抽样方法进行计算。根据经济收入水平将居民户划分为3层，样本容量与总体的个数比为185，，从中抽取一个容量为385的样本。该3个层中，由于不同经济收入的居民户数分别为445、945和535。因此3个层中抽取的居民分别为445/5、945/5、535/5，换算为户则分别为89户、189户、107户。

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多媒体教学是现代教学的重要手段之一。正确运用教学资源，用好多媒体是激发学生的学习兴趣，大面积提高教学质量的有效措施。在教学中，要充分利用电教媒体，把学生带进某种特定的教学情境中，把静的变活，把小的变大，把虚的变实，把繁的变简。这样，有利于学生理解问题，形成观念，调动学生的学习积极性。学生生活面窄，感性知识少，抽象思维能力差，在教学中利用电教手段能帮他们架起形象思维向抽象思维过渡的桥梁，帮助他们较为顺利地理解应用题中教学术语和数量关系。运用投影手段讲应用题中的数量关系，可把应用题中所叙述的情境形象直观地展示在学生面前，如在行程问题应用题教学中，利用投影演示，可以把相遇问题、追及问题、环形跑道问题等题目用投影进行直观演示。通过演示，学生既理解了一些教学术语，又理解了应用题中的数量关系，掌握了列式根据。

二、 教给学生正确解答应用题的步骤

（一） 教会学生审题

审题是正确解题的前提。审好了题目，理解题意，要教会学生读题。一读明白事理，让学生知道题目中说了一件什么事，并引导学生找出题目中的已知量和所求??题。二读复述题意，要求学生能说出题目大意，把注意力集中到数量关系上，为分析数量关系做好准备。

（二） 引导学生分析数量关系

正确分析数量关系是正确解答应用题的关键，是应用题教学过程的中心环节。在应用题教学中要特别注意训练学生分析应用题中已知量与未知量，已知量与未知量之间存在的相依关系，把数量关系从应用题中抽象出来。在分析数量关系时，由于思维过程不同，可分为综合法和分析法。前者由条件推向问题，即“由因导果”；后者由问题推向条件，即“由果索因”。为了防止学生一遇到叙述稍有变化的题目时就发生错误，在教学中应发挥学生的发散思维能力，引导学生多角度、多侧面、多方位地进行数量关系的分析。

（三） 培养学生检查的良好习惯

解答简单应用题同进行四则计算一样，也要注意培养检验的习惯，这样一方面可以提高解题的正确率，另一方面可以为培养检验复合应用题的能力打下初步基础。检验应用题要比检验四则计算复杂一些，首先要重新读题，分析已知条件和所求的问题之间的关系是否正确，然后再看列式、计算、答案是否正确。较高年级还可以通过改编应用题并解答进行检验。通过检验还可培养学生思维的深刻性，对解答结果的负责态度和自信心。

三、 根据应用题特点，引导学生掌握一定的解题技巧

（一） 分析法和综合法

分析法就是从题目的问题入手，逐步推得需知条件，直至均为已知条件为止。综合法从题目的已知条件入手，逐步推得可求什么，直至得出题中问题为止。

例如，客车从甲地开往乙地去时每小时速度是45千米，4小时到达乙地，回来时比去时每小时多走15千米，回来时用了几小时？这时就可用分析法：回来的时间=回来的路程÷回来的速度，回来得路程=去时的路程=去时速度×去时的时间，回来的速度=去时速度+每小时多走的，就可从问题推导到已知条件，也可用综合法。分析法和综合法可综合运用，由条件向问题或由问题向条件或同时进行，这样就较容易找到解题的方法。

（二） 图示方法

图示方法是通过画简单的示意图来揭示问题的实质，显示数量关系的一种策略。常用的有线段图、几何形体的切割等。例如，笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有8个头；从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？运用图示可使一些抽象的问题变得直观形象，错综复杂的数量关系变得清晰明了。画8个圆表示全是鸡，圆上画两个线段表示鸡脚（式子为2×8=16），与题意相比少了十只脚（26-16=10），因为每只鸡兔相差两只脚（4-2=2），在圆上再画两条线表示兔子就要画五个圆（10÷2=5），这种简单示意图与算术方法相结合使问题更直观化，更易于理解。

四、 将数学问题生活化，内化应用题知识

从某种意义上说，数学教育就是生活的教育。尤其是数学应用题，将数学知识与实际生活紧紧联系在一起，大至天文、地理、环保问题、生态平衡问题，小至利率计算、商品买卖……均可在数学中找到其应用的踪影。因此，我们一定要将数学应用题生活化，挖掘教材内容中的生活素材，寻找教材中的数学知识与学生熟悉的生活的切入点，使枯燥的数学问题变为活生生的生活现实。

比如，设计生活化应用题型：某旅游景点的门票价为：成人票每人80元，儿童票每人30元，那么小红与妹妹、爸爸、妈妈一起去景点旅游，需要多少门票钱？教师可以将此与学生的旅游经历进行结合，引导学生回忆生活实践，进行知识的迁移，进而完成这样的题目。这样，通过教学与生活相联系，在有效的引导学生进行感知，强化学生理解的同时，也使学生明白了学有所用的道理，教学真正意义上地落在了实处。