数学教学案例精品(七篇)

序论：写作是一种深度的自我表达。它要求我们深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隐藏在内心深处的真相，好投稿为您带来了七篇数学教学案例范文，愿它们成为您写作过程中的灵感催化剂，助力您的创作。

篇(1)

关键词：初中数学 教学案例

教学案例是教师在教学过程中，对教学的重点、难点、偶发事件、有意义的、典型的教学事例处理的过程、方法和具体的教学行为与艺术的记叙，以及对该个案记录的剖析、反思、总结。案例不仅记叙教学行为，还记录伴随行为而产生的思想，情感及灵感，反映教师在教学活动中遇到的问题、矛盾、困惑，以及由此而产生的想法、思路、对策等。它既有具体的情节，过程，真实感人，又从教育理论、教学方法、教学艺术的高度进行归纳、总结，悟出其中的育人真谛，予人以启迪。可以说，教学案例就是关于某个具体教学情景的故事，既有故事发生背景，又有故事发展情节。在叙述这个故事的同时，常常还发表一些自己的看法――点评。所以，一个好的案例，就是一个生动、真实的故事加上精彩的点评。

一、教学案例的特点

1、案例与论文的区别

从文体和表述方式上看，论文是以说理为目的，以议论为主；案例则以记录为目的，以记叙为主，兼有议论和说明。也就是说，案例是讲一个故事，是通过故事说明道理。

从写作的思路和思维方式来看，论文写作一般是一种演绎思维，思维的方式是从抽象到具体；案例写作是一种归纳思维，思维的方式是从具体到抽象。

2、案例与教案、教学设计的区别

教案和教学设计都是事先设想的教学思路，是对准备实施的教学措施的简要说明；教学案例则是对已经发生的教学过程的反映。一个写在教之前，一个写在教之后；一个是预期达到什么目标，一个是结果达到什么水平。教学设计不宜于交流，教学案例适宜于交流。

3、案例与教学实录的区别

案例与教学实录的体例比较接近，它们都是对教学情景的描述，但教学实录是有闻必录，而案例则是有所选择的，教学案例是根据目的和功能选择内容，并且必须有作者的反思（价值判断或理性思考）。

4、教学案例的特点是：

――真实性：案例必须是在课堂教学中真实发生的事件；

――典型性：必须是包括特殊情境和典型案例问题的故事；

――浓缩性：必须多角度地呈现问题，提供足够的信息；

――启发性：必须是经过研究，能够引起讨论，提供分析和反思。

二、数学案例的结构要素

从文章结构上看，数学案例一般包含以下几个基本的元素。

（1）背景。案例需要向读者交代故事发生的有关情况：时间、地点、人物、事情的起因等。如介绍一堂课，就有必要说明这堂课是在什么背景情况下上的，是一所重点学校还是普通学校，是一个重点班级还是普通班级，是有经验的优秀教师还是年青的新教师执教，是经过准备的“公开课”还是平时的“家常课”，等等。背景介绍并不需要面面俱到，重要的是说明故事的发生是否有什么特别的原因或条件。

（2）主题。案例要有一个主题：写案例首先要考虑我这个案例想反映什么问题，例如是想说明怎样转变学困生，还是强调怎样启发思维，或者是介绍如何组织小组讨论，或是观察学生的独立学习情况，等等。或者是一个什么样的数学任务解决过程和方法，在课程标准中数学任务认知水平的要求怎么样，在课堂教学中数学任务认知水平的发展怎么样等等。动笔前都要有一个比较明确的想法。比如学校开展研究性学习活动，不同的研究课题、研究小组、研究阶段，会面临不同的问题、情境、经历，都有自己的独特性。写作时应该从最有收获、最有启发的角度切入，选择并确立主题。

（3）情节。有了主题，写作时就不会有闻必录，而要是对原始材料进行筛选。首先需要教师对课堂教学中师生双方（外显的和内隐的）活动的清晰感知，然后是有针对性地向读者交代特定的内容，把关键性的细节写清楚。比如介绍教师如何指导学生掌握学习数学的方法，就要把学生怎么从“不会”到“会”的转折过程，要把学习发生发展过程的细节写清楚，要把教师观察到的学生学习行为，学习行为反映的学生思想、情感、态度写清楚，或者把小组合作学习的突出情况写清楚，或者把个别学生独立学习的典型行为写清楚。不能把“任务”布置了一番，把“方法”介绍了一番，说到“任务”的完成过程，说到“掌握”的程度就一笔带过了。

（4）结果。一般来说，教案和教学设计只有设想的措施而没有实施的结果，教学实录通常也只记录教学的过程而不介绍教学的效果；而案例则不仅要说明教学的思路、描述教学的过程，还要交代学生学习的结果，即这种教学措施的即时效果，包括学生的反映和教师的感受等。读者知道了结果，将有助于加深对整个过程的内涵的了解。

（5）反思。对于案例所反映的主题和内容，包括教育教学指导思想、过程、结果，对其利弊得失，作者要有一定的看法和分析。反思是在记叙基础上的议论，可以进一步揭示事件的意义和价值。比如同样是一个学困生转化的事例，我们可以从社会学、教育学、心理学、学习理论等不同的理论角度切入，揭示成功的原因和科学的规律。反思不一定是理论阐述，也可以是就事论事、有感而发，引起人的共鸣，给人以启发。

三、初中数学教学案例主题的选择

新课程理念下的初中数学教学案例，可从以下六方面选择主题：

（1）体现让学生动手实践、自主探究、合作交流的教学方式；

（2）体现教师帮助学生在自主探究、合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验；

（3）体现让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，采用“问题情境――建立模型――解释、应用与拓展”的模式教学的成功经验；

（4）体现数学与信息技术整合的教学方法；

（5）体现教师在教学过程中的组织者、引导者与合作者的作用；

篇(2)

关键词：初中数学；教学案例设计；问题分析

教学案例在教学过程中所起的作用是非常重要的，它不但可以对教学过程中的一些重点和难点进行分析和阐述，而且还会对教学行为进行记叙，能够充分的反应和体现教学过程中的遇到的各种问题。接下来，笔者就对初中数学教学案例设计中可能出现的问题进行如下详细的分析。

一、教学案例

1.教学案例的涵义。所谓的教学案例就是指对实际具体的教学过程进行描述，包括具体的情境、问题、矛盾等。它是一个具体的教学实践的过程，描述的是教学过程的一系列事件。

2.教学案例的特点。首先，教学案例与论文相比，在文体和表述上论文是以议论和说理为主的，而案例则是以记录和叙述为主，同时进行必要的、适当的议论和说明。也就是说，案例是通过对故事的讲述，以此来阐述和说明一定的道理。由此可见，无论是从写作思路和方法上，两者的区别也是非常大的。

其次，与教案和教学设计相比，教案和教学设计都是在课前就对教学过程进行设计，而教学案例则是对已经发生的教学过程的一种反映。前者是在教学活动之前，后者是在教学过程之后，两者在时间上存在着一定的差异。除此之外，教学案例比较适合实现师生之间的交流，而教学设计就无法做到这一点。

最后，与教学实录相比，虽然这两者比较相似，都是对教学情境进行具体的描述，但是教学实例是有针对的对教学情境进行记录，必须是作者经过反复的思考的结果。

综上所述，教学案例最大的特点就是它本身具有真实性、典型性、浓缩性和启发性，这也是教学案例被广泛的应用到教学活动最主要的原因之一。

3.教学案例的构成要素。根据初中数学的特点，教学案例的设计一般需要包括如下几种基本要素：

首先，在背景上应该把事件发生的有关情况，如时间、地点、人物等，都向读者交代清楚。

其次，要把该案例的主题交代清楚，这也是案例设计中最重要，同时也是最基本的构成要素。在对案例进行设计时，首先要考虑的就是这个案例想要反应的问题是什么，然后再根据这个问题做出一系列的阐述和分析。

再次，在确定主题之后，就要考虑具体的情节，如果说主题是主干，那么情节就是支架，是使主题变得更加丰富的重要因素。例如，把教师在课堂中如何指导学生的方法和手段进行介绍，或者把学生获取知识的过程进行详细的记录等。

最后，对设计方案进行具体的实施，即应用到具体的课堂教学中。在对教学思路进行说明的过程中，教师通过观察学生们的反应，从而了解到教学案例的结果，这对加深了解整个过程也是有很大的促进作用的。

除此之外，教师还要对这次教学案例的设计，以及具体的实施过程进行必要的反思和总结。在反思的基础上，对事件进行进一步的揭示和分析。

二、对初中数学教学案例进行设计的必要性和意义

1.促进教师的教学反思。教师在对教学案例进行设计和实施的过程中，也是教师对自己教学的一种检验，通过在教学中应用教学案例，教师可以对一些教学问题有一个更加客观、合理的认识，能够对这些不足进行总结，从而使教学水平得到提高。

2.推动教学理论的学习和发展。对教学案例进行设计时，一定会与教学理论结合起来。因为只有把教学理论作为最基本的理论支撑，才能计出优秀的教学案例。这对促进教师学习和掌握学习理论也是有很大的帮组的，在一定程度上推动了教学理论的学习和发展。

三、初中数学教学案例的设计策略和方法

根据初中数学新课标的一些要求，在对教学案例进行设计时应该充分的结合初中数学的教学内容、特点和教学目标。只有这样设计出的教学案例才能符合新课程的具体标准。

1.充分的体现学生的主体性。以往的传统教学只是侧重对知识的灌输，很少去考虑学生的情感和认知，因此，在对初中数学案例进行设计时一定要充分的体现出学生的主体性。

2.培养学生的自主探究能力。在新课标理念的要求下，培养学生的自主探究能力已经成为当今初中数学教学的主要目标之一。就像著名数学家华罗庚说的那样，现在很多数学课堂只是把现成的饭拿上桌，而缺少绝提做饭的过程。例如，在学习勾股定理这一节时，教师就应该摒弃以往那种向学生灌输的教学方法，而是向学生们提出具体的学习目标，让学生们通过对直角三角形各边的观察和计算，从而得出具体的结论。这不但可以激发学生们的学习兴趣，使学生们积极的参与到学习活动中，而且对开发和培养他们的自主探究能力也是有很大的促进作用的。

3.培养学生数学的抽象思维 。初中数学最终的教学目标就是培养学生的数学抽象思维，即能够将实际问题抽象成具体的数学问题，并用相关的数学知识进行解决的能力。一般建议采用：问题情境―建立模型―解释，应用与拓展等形式的教学案例。

4.促进学生的全面发展。除了要培养学生的自主探究能力外，还要对培养学生的创新能力、自主学习能力和认知能力等进行培养。具备以上几种能力也是新时期对初中生最基本的要求，是符合当今社会的发展趋势的。

结束语：

初中数学作为初中课程中最主要的学科之一，因此，如何提高初中数学的教学质量，使学生在中考中取得一个优异的成绩也是很多人非常关注的问题。本文通过对教学案例的涵义、特点和组成要素，以及在初中数学教学中应用教学案例的意义和具体策略、方法等，做出了详细的阐述和说明，希望可以为初中数学教学给予一定的启示和帮助。

参考文献：

[1]国家教育委员会基础教育司，课程教材研究所编．20世纪中国中小学课程标准・教学大纲汇编・数学卷[C]

[2]人民教育出版社中学数学室编．全日制普通初级中学教科书数学(必修)第3册(上)[M]

[3]吕传汉，汪秉彝．中小学“数学情境与提出问题”教学的理论基础及实施策略[J]

篇(3)

一、了解案例的结构要素

1．背景。介绍一堂课，就有必要说明这堂课是在什么背景情况下上的，是一所重点学校还是普通学校，是一个重点班级还是普通班级，是有经验的优秀教师还是年青的新教师执教，是经过准备的“公开课”还是平时的“常态课”，等等。背景介绍并不需要面面俱到，重要的是说明故事的发生是否有什么特别的原因或条件。

2．主题。案例要有一个主题：写案例首先要考虑我这个案例想反映什么问题，是想说明怎样转变差生，还是强调怎样启发思维，或者是介绍如何组织小组讨论，等等。动笔前都要有一个比较明确的想法。

3．情节。有了主题，就可以对原始材料进行筛选。比如，介绍教师如何指导学生掌握学习数学的方法，就要把学生怎么从“不会”到“会”的转折过程，要把学习发生发展过程的细节写清楚。

4．结果。案例不仅要说明教学的思路、描述教学的过程，还要交代学生学习的结果。

5．反思。反思是在记叙基础上的议论，可以进一步揭示事件的意义和价值，不一定是理论阐述，可以就事论事、有感而发，引起人的共鸣，给人以启发。

二、写好案例的关键

1．选择复杂的情境。教师在教育教学活动中面临着各种各样的问题情境，需要进行判断、选择，作出决定。复杂的情境提供了更多的选择、思考和想象的余地，因而给人以更多的启迪。

2．揭示人物的心理。人物心理的重要方面是学生的心理活动。由于案例一般是教师撰写的，注意力容易偏重于教师这一方。自己怎么想的，怎么教的，主观认为教学效果如何，可以娓娓道来，自我感觉良好；但学生的心里是怎么想的，对教学效果的看法是否与教师一致，往往被忽略不计了。人们常说“备课要备两头”：备教材，备学生。真实地反映学生在学习过程中的想法、感受，是写好案例的重要一环。

3．具有独到的思考。同一件事，可以引发不同的思考。从一定意义上来说，案例的质量是由思考水平的高低所决定的，要从纷繁复杂的教学现象中发现问题、提出问题、解决问题，道出人所欲知而不能言者，这需要一双“慧眼”。

三、案例的表现形式

篇(4)

南京师范大学的涂荣豹先生认为，数学教学的目标有三个：一是使学生爱学；二是会学；三是发展学生的认识力。发展学生的认识力，指的就是数学教学要教学生学会思考。

教师在教学过程中，对数学知识的呈现方式存在差异，这种差异对学生获得数学知识也许影响不大，但对学生数学思维活动的影响，却可能有很大的差别。

2教学内容说明

向量是刻画现实世界的重要数学模型，力、速度、位移等都是向量的实际背景，可以用向量加以刻画和描述。用什么样的数学模型来刻画位移、速度、力这样的量？这个数学模型有什么性质与应用？这就是《平面向量》的中心问题，也是本章的知识学习的固着点。

向量的数量积是在向量的线性运算基础上学习的一种新的运算，向量的线性运算是封闭性运算，而向量的数量积运算是非封闭性运算，运算的对象是二元的，而运算的结果又是一元的，这种运算的非封闭性对学生的认知造成了很大的失衡。

3教学案例分析

笔者近期听了两堂关于“平面向量的数量积”的课，两位老师的教学过程都分为五个环节：问题情境――抽象模型――辨析模型（内涵、外延）――模型性质（运算律）――数学应用，两位老师都是以“问题”的形式来推动教学过程。

本文结合其中的环节一和环节四，来探究在教学中如何实现教学生“学会思考”。

3.1环节一问题情境

甲教师：

师：（问题1）向量的运算有向量的加法、减法、数乘，叫做向量的线性运算，那么向量与向量能否“相乘”呢？

生：能。

师：向量与向量“相乘”这种运算怎么定义呢？

生：应该不是线性运算。

师：为什么？

生：老师，向量的加法、减法、数乘，叫做向量的线性运算，向量与向量“相乘”没有和它们放在一起学，那肯定和它们不一样了。

师：怎么个不一样法？

生：……

师：我们是怎么得到向量的线性运算的，它的结果是什么？

生：是通过将实际生活中，物理中的矢量的合成与分解，速度在某时问段的位移抽象出来的，得到的结果还是向量。

师：你想一想，向量与向量“相乘”的结果是什么呢？

生：应该不是向量了。

师：结果不是向量，只能是什么？

生：数……数量……（不是很肯定）

师（点头）：是数量，我们在实际生活中有这样的物理背景吗？

生：做功，力做功的结果就是标量，是一个数。

师：好，我们来分析这个物理背景。看看从求功的运算中可以抽象出什么样的向量运算？

乙教师：

师：前面我们已经学过的向量、向量的加减法、实数与向量的数乘，向量的加法、减法、向量的数乘我们称之为向量的线性运算。它们都是对实际问题的刻画。（附表1）

师：（问题1）向量的线性运算可以刻画出所有的矢量运算吗？

生：（思考了一会）不能，不能形容矢量的做功运算。

师：为什么？

生：矢量的做功得到的结果是一个标量，也就是数，而你列举的三种运算得到的结果都是向量。

师：那怎么办？

生：应该引入一种新的运算，用这种运算来刻画力的做功。

师：你准备如何定义这种运算？

生：现在还没想好，我想我们应该先分析矢量做功这个物理背景，找出这个物理背景中和数学有关的元素。

师：研究数学元素的目的是什么？

生：建立数学的量的关系，就像从力的合成与分解中，得出向量的加法、减法一样。

师：对，建立物理背景中数学的量的关系就是建立数学模型，下面，请大学先分析做功这个物理背景。

教学意图

甲教师：从数学知识内部发展的需要引入概念，前面学习了向量的线性运算，接下来就应该学习向量的非线性运算，并根据线性运算的结果，引导学生得出新运算的结果是数，侧重数学知识的联系和对比。

乙教师：从实际问题中抽象出向量的概念及运算（数学模型），然后用数学的方法研究数学模型，最后再运用数学模型去解决实际问题。突出了知识的来龙去脉，有助于学生对数学完整的认识。

案例分析

情境的引入要能体现学习新知识的必要性，学习新知识的必要性一般有两种情况：一是从数学概念体系的发展过程中引入新概念，也就是从数学的内部出发，在原有知识的基础上，通过归纳、比较、分析等思维活动，寻找新知识与原有知识的区别与联系，建立新的知识，甲教师正是采用这一方式引入的；二是从解决实际问题的需要出发引入新概念，原有的知识不能解决新的问题，需要引入新的知识来刻画，乙教师是采用这种方式引入的。

甲教师的引入虽然体现了新知识与原有知识的联系，但是学生不能认识到学习向量的数量积的必要性，只是因为前面学过了向量的线性运算，所以今天就要学非线性运算，但是学习这个知识有什么用？非线性运算是怎么来的？这些都是通过老师以设问的方式提出来的，虽然学生也能在老师的引导下去研究，但这是一种停留在数学知识本身的学习，这种学习相对被动，学生被老师牵着走，学生的思维难以得到激发。

乙教师的问题情境能够让学生认识到学习向量数量积的必要性，教师的提问不是直接指向数学知识本身，而是通过一系列的元认知提示语，引导学生像数学家一样思考问题，再现知识的“创造”过程，这个“创造”的过程就是研究数学的一般方法。不仅仅向量可以这样研究，许多别的知识也可以这样研究，如函数、指数函数、三角函数、数列等。这种教学不仅教了知识，也教会了学生如何思考。

3.2环节四 向量数量积的运算律

甲教师：

师：我们学习了向量的数量积，下面我们来学习向量的数量积的运算律。

（问题3）实数的运算满足哪些运算律呢？

生：交换律、结合律、分配律。

师：请同学们类比一下，向量的数量积满换律、结合律、分配律吗？

（学生计算、思考）3分钟后，

生：满换律，不满足结合律。

师：满足分配律吗？

生：应该满足吧。

师：为什么满足分配律，说说理由，你能证明吗？

生：……

师：好，大家类比一下实数的运算，应该是满足分配律的。现在大家还不会证明，是因为我们没有学向量的投影，现在我们来学习向量的投影。

（教师开始介绍向量的投影）

乙教师：

师：我们刚刚学习了一种新的运算――向量的数量积，学习了一种运算后，下一步我们应该研究什么？

生：研究它的性质。

师：哪些性质？

生：是否满足运算的交换律、结合律、分配律？

师：满足吗？

（学生计算、思考）

生：满换律，不满足结合律，分配律还不确定。

师：怎么不能确定？

生：不知道怎么证明。

师：那怎么办？不会证明，就没办法知道是否满足分配律吗？

生：能不能先用特殊的向量试试看？

师：对啊，你为什么不先试试看呢？

（学生用特殊向量计算、验证）

生：满足。

师：为什么满足？

生：我用好几个特殊的向量验证后都满足了。

师：那不特殊的向量也满足吗？你的结论具有一般性吗？

生：那得证明后才能知道。

师：好，我们下面就来证明这个结论。

教学意图

甲教师：教师通过设问，引导学生通过类比实数的运算律，证明向量的数量积所满足的运算律。

乙教师：引导学生回顾学习数学对象的过程，学习数学对象之后，应该学习数学对象的性质，对于在现阶段还不能证明的结论，以追问的形式引导学生用猜想、归纳、验证，最后进行演绎证明。

案例分析

数的运算、向量的线性运算、向量的数量积、矩阵的运算是一个发展趋势链，教学应该从发展的角度理解向量的数量积，引导学生认识到数、向量的运算联系，也为今后引入矩阵及其运算做了铺垫。

两位教师都能通过类比实数，学习向量数量积的运算律。甲教师是直接让学生去比较，乙教师则是引导学生经历“新的数学对象――对象的性质――（若可以进行运算）――运算法则”这一过程，这也是概念系统的建立过程，在这个过程中，学生能体会到研究数学的通法，这种教学就能促进学生主动地思考如何去研究数学对象。

当学生遇到困难，不会证明向量数量积的分配律时，甲教师是直接进行下一阶段的学习，通过补充新的知识来加以证明。乙教师则是引导学生从特殊到一般，先猜想、再验证、最后证明，这个过程也是数学新知识的发现过程，数学中的许多定理、结论都是这样发现的，如费马定理、庞加莱猜想、希尔伯特问题等，数学家们通过直觉思维猜想某个定理，再通过一些特殊的例子加以验证，最后以严密的方法进行逻辑证明。

当然，学生的发现与数学家的发现是不同的，学生是在教师引导下对知识的“再发现”，这种“再发现”可以帮助学生学会思考，思考解决问题的策略，乙教师的教学能引导学生经历这种“再发现”的过程。

4结束语

数学是思维的科学，数学的发展蕴含着丰富的思想方法，学生学习数学，不仅仅要学数学知识本身，还要学会像数学家一样思考。

篇(5)

【关键词】尺规作图 四则运算 数域

假设现在有一个平面，已知这个平面上的两点AB，并且已知它的长度是1。假设你手上还有一把没有刻度的直尺和一个圆规，请证明：

（1）你可以在有限步内做出任意长度为正整数的线段；

（2）你可以在有限步内做出任意长度为有理数的线段。

为了进一步明确题意，在此列出所有你可以做的事情：

①可以把一条已知线段延长成为一条直线，

②只能以已知点为圆心作圆，

③只能以已知某两点之间的距离为半径长度作圆，

④在你所做的线段，直线或者圆上取出你想要的任何一个点（进而你可以取出它们相互之间的交点），取出后都视为已知点。

解答（1）以B为圆心，长度1（已知线段AB的长度就是1）为半径作圆；利用直尺做出直线AB；取得直线和圆异于A的交点C，于是得到已知点C，并且2也是已知长度（AC长度是2）；以C为圆心，长度1为半径作圆，取得它与直线AB异于B的交点D，于是得到已知点D，并且3也是已知长度。不断重复这个步骤，在有限步内一定可以做出任意长度为正整数的线段

（2）对于任意的有理数 ，由 （1），我们可以在直线AB上取得四个已知点PQRS，使得PQ长度为p，QR长度为1，QS长度为q；以已知点Q为圆心，已知长度q为半径长度作圆，取出这个圆上任意一个不在直线AB上的点T，得到已知点T；由于尺规可以在有限步内做出任意线段的垂直平分线，于是我们做出PT和TR的垂直平分线，取得它们的交点O作为已知点；以O为圆心，已知点OP之间的距离为半径长度作圆；利用直尺做出直线QT；取得直线QT与圆异于T的交点U，于是得到已知点U，并且QU长度即为 。

小结（1）关于读题，本题的读题关键是读懂“有限步内”。本题最容易出现的一类读题错误就是：对于AB（长为1），以B为圆心，AB为半径作圆，圆上所有点与A的距离的取值范围是0到2，于是就认为长度为0到2之间所有实数的线段都可以做出来了。如果你是这样认为，请你想想，以 为例，圆上确实有一个点，它到A的距离是 ，问题是你怎么在有限步内把它找到？

（2）本题的解法其实就来源于对于四则运算最朴实的认识，在最开始人们只知道做加法的时候，人们拿着数0和1通过加法就做出了所有正整数（第一问就是考察这个），同一个正整数不停地重复和它自己相加于是得到了乘法的定义。对于a，b，人们不会直接作减法，但是人们思考什么数c会满足a+c=b，于是就产生减法的定义，并且产生所谓“负”的概念，正整数被扩展到全体整体。除法也是一样的，对于a，b，人们是通过寻找c，使得ac=b才定义了除法。这就是为什么人们把减法叫做加法的逆运算，把除法叫做乘法的逆运算。

（3）解方程a+x=b，我们真正做的事情是寻找一个c，使得a+c=0，方程两边同时加上c，就得到解是x=b+c，实际上c就是a的“负元素”，即（-a），上述工作实际就是减法；解方程ax=b（a 不为0），我们真正做的事情是寻找一个元素c，使得ac=1，方程两边同乘c，于是得到解是x=bc。不要觉得这样的认识没有意义，有的时候加法和乘法运算你可以一目了然，但是除法就不一定了，比如在模p的意义下看除法 ，仔细想想这个时候除法是怎么定义的，你就会知道这样的认识是必要的。

（4）进一步介绍四则运算封闭的定义，以及数环和数域的概念。集合S对加法封闭是指：对于S中任两个数a，b，a+b也在S中（减，乘，除封闭的定义类似可得）。对于加减乘封闭的数集称为环，对于加减乘除都封闭的数集称为数域，比如整数集就是一个环（又叫整数环），有理数集就是一个数域。为了避免空集的干扰，我们定义数环和数域都要求0，1是其元素。我们这道题就模拟了一个有理数域产生的过程，本题说明了所有能够做出的长度组成一个数域，也说明了有理数域是最小的数域（补充说一句最大的数域是复数域）

篇(6)

【关键词】初中数学；案例教学；步骤分析

案例教学是初中数学教学课堂中经常运用的一种教学方法，而在初中数学教学中，采用案例分析，能够举一反三地分析与知识点相关的其他案例，也能够使案例中某些知识点的运用进行详细讲解，似与手把手教育学生运用知识点一样，使学生在案例教学中能够一步一步的追随教师的脚印，认真的学习知识，从而使学生的学习效率与教师的教学质量得到提高。

一、对初中数学案例教学的步骤分析

1.制定教学案例

在初中数学教学之初，教师应该有针对性的对案例进行教学备课，像对于初中数学而言，由于知识点较多，而且知识点之间都会有相应的联系，其中错综复杂的关系，致使教师在进行案例的教学备课时，应该选择一些简单的有针对性的案例来作为教学的主要内容，再对其知识点进行相对应的教学。比如，对一元一次函数进行教学，需要进行知识点的案例教学的有：一元一次函数的表示方法、变量之间的取值与其性质等知识点，对于这些知识点的教学，教师可以使用一个案例，把知识点归结于一个案例中进行教学。举一个具体的实例来看，像y=kx+b这样的一次函数，可以作为教师案例进行教学分析，一次函数的图像可以从k、b的正负值判断，同样的，此函数的值的范围，也可以通过这两个系数进行判断。相应的，通过对一元一次函数的案例分析，也可以对正比例函数、反比例函数与二元一次函数进行相对应的拓展性的教学分析，使教学案例得到充分的利用。教师不仅要在教学知识点之初，对知识点进行案例备课，在学生解题的过程中也需要对复杂的案例进行分析备课，因为学生在解题的过程中，不是简单对一个知识进行解答，而是对一些知识进行整体的运用，而这样的做题方式，常常使用在题目中，主要是考核学生是否能够灵活的运用数学知识，因此，教师应该对一些难度系数比较高的教学案例进行分析，而如何制定这些教学案例呢？教师应该选择一些学生常错的题型，或者是学生在做题时，常出现问题的地方，进行重点的案例教学，而这样针对班级中存在的数学问题，进行初中数学教学案例备课的方法，可以使学生一步步的进步。

2.对教学案例进行课堂讲解

对初中数学知识点进行课堂案例教学，无外乎听讲式的教学模式，还有视频教学。采用听讲式的教学方法，一直是使用于初中教学课堂中，但如果学生长期处在这样的教学模式下，学生的思维开始变得麻木，而采用视频教学就不一样了，采用视频教学不仅能激发学生的好奇心，也能吸引了学生的眼球，而且在教学的过程中，采用一些制作中的声音，能够及时敲醒学生短路的思维，使学生能够跟随教师的脚步走，在不知不觉中，深入案例教学中。同时，这样的教学方法，能够为教师教学带来不少便利，也能够带给学生不少便利，教师可以通过拷贝文件给学生，使学生能够随时随地的进行案例教学的听讲，加深学生对案例的映象，使视频教学中的案例教学能够充分的利用起来。

3.布置相应的案例题目

巩固与学习是教学中必不可少的步骤，教师在教学案例之后，对学生应该进行教学知识的巩固，最好的巩固方法就是给学生布置相应的作业。像在教学全角三角形的判定定理的时候，由于全角三角形在判定的过程中，需要运用三种判定定理，未免学生对这三种判定定理混淆，需要在平时的作业中，加强练习。同时教师在布置作业的时候，应该根据题目的难易程度进行均匀分配，最好是在学生对知识点熟练之后，给学生相应的布置几个扩展性的题目，让学生对知识点，进行深度的思考。

二、初中数学案例教学的意义

初中数学案例教学已经成为初中数学教学中的一个主打教学模式，因为在这样的教学模式下，教师的教学质量在不断的提升，学生的学习效率也在增高。而初中数学案例教学，主要存在于课堂教学与作业练习中，教师在视频课堂教学中使用案例教学时，既能够激发学生学习数学的兴趣，也能够方便教师进行有效的课堂纪律管理，学生在视频教学中，也是针对性的对某些案例进行巩固的学习，加深学生对知识点的映象，同时案例教学存在于作业练习中，使学生的数学思维能够在练习中得到巩固，因此，初中数学案例教学不管从什么方面，都是使教学质量在不断上升，由此可见，在初中数学教学中，使用案例教学的重要性。

结语

本文通过对初中数学案例教学步骤的分析，可以得出结论，案例教学存在于课堂教学中与课外教学中，使学生不管在课外还是课内，都能够通过案例教学学习到新的知识点，巩固新的知识点，同时在案例教学的不断深入中，不断培养学生的数学头脑，而且通过对初中数学案例教学的意义分析，也能得出初中数学案例教学的重要性，致使在初中数学教学中不能放弃对这种教学方法的使用。

【参考文献】

[1]朱利红.浅析初中数学课案例教学法优化运用[J].读与写•下旬刊，2016.

篇(7)

关键词：高等数学；可视化教学案例；数学软件

中图分类号：G642 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）09-316-01

高等数学是高等学校理工科学生最重要的基础课程之一，它一方面为学习后续课程和现代化科技知识提供必要的教学工具，另一方面也是对学生抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、分析和解决实际问题能力进行综合培养的关键课程。因此，高等数学的教学显得尤为重要。

传统的教学模式是教师在课堂上讲，用粉笔在黑板上进行演算和推导，学生在底下听课作笔记。这种教学模式，加上高等数学这门课的枯燥、抽象，使得许多学生学习积极性不高，主观能动性不强。课堂教学的单一化、程式化已经成为启发学生思维、培养学生素质的绊脚石。因此，如何优化教学模式、提高教学效率成为摆在广大教育工作者面前的课题。随着数学软件技术的发展，可视化教学成为提高高等数学教学效率的一条有效途径，通过在课堂教学中构建可视化的教学案例，让数学思维和理论“可视化”，从而加深对概念和理论的理解，增强应用理论解决问题的能力，增强教学和学习效果。

一、可视化教学案例

1、函数的极限

重要极限之一 是高等数学的重要内容，其证明过程相对复杂，许多学生仅仅从理性上认识其证明过程。但利用matlab作出其函数图像（如图1），就可以让学生更加深入直观地了解这个极限的趋近过程。

2、函数的渐近线

函数的渐近线的求法是转化为求函数的极限，但对于这个过程，学生单凭抽象思维理解较困难。但如果给出这复杂函数曲线的直观图形，学生就可以很直观的看出函数的渐近线。例如，利用matlab，分别给出了函数 和 的图像在图1和图2中，由此清楚地看到函数的渐近线如图中直线所示。

3、曲面作图

在学习空间解析几何时，由于其抽象性、复杂性，很多学生学习起来比较困难。尤其对一些曲面作图，感到很吃力。教师上课时，画的图有时也可能立体感不强，导致学生理解起来比较困难。此时，借助于数学软件，可以非常直观、立体地展现曲线曲面，让学生更具体、更形象地了解这些曲线曲面。比如，在学习空间直线和曲面的参数方程时，根据理论知识，由空间直线 绕 轴旋转一周时，得到一个单叶双曲面 。但对此过程，大部分学生觉得很困惑，一条直线绕轴旋转一周怎么会得到一个单叶双曲面呢。此时，可以利用matlab将此曲面画出，如图3所示，再联系到前面讲到用截痕法分析单叶双曲面的截痕刚好有两条直线，由此就可以让学生解开困惑。

二、结束语

通过借助数学软件，设计的几个可视化教学案例，可以在教学过程中直观、形象地将抽象的数学概念和理论展现出来，从而在一定程度上起到增强教学和学习效果的作用。但也要注意到借助于数学软件的可视化教学只是实施高等数学教学的一种手段，不能丢掉高等数学最精彩的部分，演算和推导。因此，在高等数学的教学中，一方面，传统的黑板板书教学模式不能丢，另一方面，要结合其它一些有效的教学手段（如可视化教学）来取得更好的教学效果。

参考文献：

[1] 杜 莹.高等数学教育的现状及改革分析[J].科教导刊，2014.83：82-83.

[2] 刘雄伟 李建平 王 晓.高等数学可视化实验教学案例的研究与实现 [J].中国教育技术装备：2012.30：114-116.

[3] 张 萸 张敬华.Matlab动画演示教学 [J]. 福建电脑：2008（6）：212.