参数方程精品(七篇)

序论：写作是一种深度的自我表达。它要求我们深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隐藏在内心深处的真相，好投稿为您带来了七篇参数方程范文，愿它们成为您写作过程中的灵感催化剂，助力您的创作。

篇(1)

一、探求几何最值问题

有时在求多元函数的几何最值有困难，我们不妨采用参数方程进行转化，化为求三角函数的最值问题来处理。

例1（1984年考题）在ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a、b、c，且c=10,，P为ABC的内切圆的动点，求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最大值和最小值。

解由，运用正弦定理，可得：

sinA·cosA=sinB·cosB

sin2A=sin2B

由A≠B，可得2A=π-2B。

A+B=，则ABC为直角三角形。

又C=10,，可得：

a=6,b=8,r=2

如图建立坐标系，则内切圆的参数方程为

所以圆上动点P的坐标为(2+2cosα,2+2sinα)，从而=80-8cosα

因0≤α＜2π，所以

例2过抛物线（t为参数，p＞0）的焦点作倾角为θ的直线交抛物线于A、B两点，设0＜θ＜π，当θ取什么值时，｜AB｜取最小值。

解抛物线（t为参数）

的普通方程为=2px，其焦点为。

设直线l的参数方程为：

（θ为参数）

代入抛物线方程＝2px得：

又0＜θ＜π

当θ=时，｜AB｜取最小值2p。

二、解析几何中证明型问题

运用直线和圆的标准形式的参数方程中参数的几何意义，能简捷地解决有关与过定点的直线上的动点到定点的距离有关的问题。

例3在双曲线中，右准线与x轴交于A，过A作直线与双曲线交于B、C两点，过右焦点F作AC的平行线，与双曲线交于M、N两点，求证：｜FM｜·｜FN｜=·｜AB｜·｜AC｜（e为离心率）。

证明设F点坐标为(c,0)，

A点坐标为(,0)。

又，设AC的倾角为α，则直线AC与MN的参数方程依次为：

将①、②代入双曲线方程，化简得：

同理，将③、④代入双曲线方程整理得：

｜FM｜·｜FN｜=

｜FM｜·｜FN｜=｜AB｜·｜AC｜。

双曲线的一条准线与实轴交于P点，过P点引一直线和双曲线交于A、B两点，又过一焦点F引直线垂直于AB和双曲线交于C、D两点，求证：｜FC｜·｜FD｜=2｜PA｜·｜PB｜。

证明由已知可得。设直线AB的倾角为α，则直线AB

的参数方程为

（t为参数）

代入，可得：

据题设得直线CD方程为（t为参数）

代入，得：，从而得，

即得｜FC｜·｜FD｜=2｜PA｜·｜PB｜。

三、探求解析几何定值型问题

在解析几何中点的坐标为(x,y)，有二个变元，若用参数方程则只有一个变元，则对于有定值和最值时，参数法显然比较简单。

例5从椭圆上任一点向短轴的两端点分别引直线，求这两条直线在x轴上截距的乘积。

解化方程为参数方程：

（θ为参数）

设P为椭圆上任一点，则P(3cosθ,2sinθ)。

于是，直线BP的方程为：

直线的方程为：

令y=0代入BP,的方程，分别得它们在x轴上的截距为和。

故截距之积为：（）·（）=9。

四、探求参数的互相制约条件型问题

例6如果椭圆与抛物线=6(x-n)有公共点，试求m、n满足

的条件。

分析如果本题采用常规的代入消元法，将其转化为关于x的一元二次方程来解，极易导致错误，而且很难发现其错误产生的原因。若运用参数方程来解，则可“轻车熟路”，直达解题终点。

解设椭圆的参数方程为

抛物线的参数方程为

（t为参数）

因它们相交，从而有：

由②得：

代入①得：

配方得：。即

篇(2)

一、已知分式方程无解求参数的值

类型一分式方程化为整式方程后未知数的系数不含参数

点评：对于含有参数的分式方程无解问题，首先应将分式方程化为整式方程.对于化去分母的整式方程，如果未知数的系数不含参数，可先求出整式方程的解，接着再令分式方程的最简公分母等于零，求出原分式方程的增根，然后令整式方程的解等于原分式方程的增根，这样会得到一个关于参数的一元一次方程，最后解这个一元一次方程，即可求出参数的值.

类型二分式方程化为整式方程后未知数的系数含有参数

a的值是1或2.

点评：对于含有参数的分式方程无解问题，将分式方程化成最简整式方程ax=b后，如果未知数的系数a含有参数，在求这个整式方程的解时，需要对这个整式方程的系数进行讨论.当a=0，b≠0时，最简整式方程ax=b无解，此时原分式方程也无解；当a≠0时，可先求出最简整式方程的解，然后再仿照未知数的系数不含参数的情形求解.

从上面也可以看出，分式方程无解一般有两种情况：（1）原方程化去分母后的整式方程无解；（2）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解.

篇(3)

关键词： 极坐标 参数方程 高考题

坐标系与参数方程的内容一起出现在新课标选修4-4中，因此在高考数学的考查过程中对这一部分内容的考查也多以综合交叉题目的形式出现.本文通过这部分内容在高考中考查的形式，并结合具体的例子，为师生的教和学提供参考.

1.关于极坐标和参数方程的考点

首先，对于极坐标而言，高考对这一部分内容的要求是能用极坐标准确地表示出极坐标系中点的位置，并且区别它与平面直角坐标系中所表示的点的位置和实现两者之间的互化.在与参数方程结合在一起时，要求同学们能用方程表示出极坐标系中所给出的简单图形，通过将此类图形在平面直角坐标系和极坐标系中的方程的比较，理解当平面图形用方程表示时选择适当的坐标系的意义.

其次，关于参数方程方面，我们要理解参数方程和参数的意义，对于直线、圆和圆锥曲线的参数方程要能用适当的参数写出来，对于简单的相关问题要能够用直线的参数方程解决，能理解和运用直线的参数方程和参数的几何意义.

2.高考对这部分内容的考查

通过对近年高考试题的回顾和分析，我们不难发现，近些年高考中对于这部分内容的考要是以解答题的形式出现的，试题难度相对比较简单，得分是比较容易的.在2009年的高考试题中将极坐标、直线与圆的位置关系、不等式思想等结合在一起考查；2010年也对极坐标方面的内容进行了考查，题中设计了直线和圆的位置关系，以及圆在极坐标系中的三种方程问题，并在题中给出的图形条件下求区域的面积.

在极坐标方面从目前新课标历年高考试题中可以看出，高考对这一部分内容的考查主要集中在极坐标系与平面直角坐标系之间的互换、常见曲线在极坐标系中的方程等内容方面，对这方面的考查还是比较简单的.在参数方程这一方面，高考对于此的考查主要集中在参数方程与普通方程之间的互化方面.所以对于后两年高考在这方面的考查，笔者预测在难度和题型方面仍将保持稳定，而且往往会使极坐标和参数方程结合在一起考查的形式，这对于老师授课和学生学习方面都要引起重视.

3.例题剖析

4.极坐标与参数方程的考点中应该注意的问题

在这部分内容中，近些年的高考试题主要考查的是极坐标方程在圆和直线中的应用，以及极坐标与平面直角坐标的互换；在参数方程方面主要考查的是参数方程与普通方程之间的互化，用极坐标方程、参数方程研究有关距离、交点和位置的问题等.

首先，在参数方程方面，我们一定要了解参数方程及其意义，其与普通方程之间的互化是一个重点，在参数方程转化为普通方程的时候，我们常用的方法是代入法、三角恒等式消元法和加减消元法等方法，在使用过程中一定要注意同解变形.在写直线、圆和圆锥曲线参数方程时，学生一定要注意参数方程中参数的几何意义，因为几何意义在参数方程的解题中能为我们带来方便.同学们一定要重视直线参数方程的几何意义.

其次，在极坐标内容方面，我们要注意平面图形在平面直角坐标系伸缩变换的作用下的变化状况，同时还要注意将其与平面直角坐标系中点的位置相区别，并要能实现互化.在使用极坐标与平面直角坐标系互化公式的时候，我们要对它的使用条件予以注意，要符合以下要求：极轴与轴正向重合、极点与原点重合、取相同的单位长度.在解题过程中化繁为简，化难为易是一个原则，在这个原则指导下，当我们面临极坐标的有关试题时就要把他们转化为平面直角坐标系去解题，因为学生对后者相对更熟悉，应用起来更得心应手.如果在做题过程中直接将问题在极坐标系中解决，这时我们就要将其与三角形联系起来，合理利用有关三角形方面的原理和公式.

5.复习与应试建议

第一，由新课标对于极坐标和参数方程的要求来看，这部分的要求内容整体难度不大，学生在复习时一定要遵循适度原则，紧扣大纲要求，不要深挖，打好基础才是关键.复习时对相关基础知识和定理定式一定要认真理解，熟悉掌握.第二，在变量换算上多放精力，减少低级错误的出现.因为变量换算是很多学生普遍反应的难点和弱点，所以教师在教学过程中要注意在这方面给予学生更多的指导，引导学生复习.第三，该种题目类型在解题时往往有多种方法，学生要理清思路，弄清问题的本质要点，梳理清楚解题程序，然后注意参数方程和普通方程之间的互换、直线与圆等要点问题的思考.第四，学生在答题过程中要注意规范，对于很多学生来讲不是不会，而是不注意答题规范，因为高考改卷是流水化的过程，所以每一题老师在阅卷过程中花的时间很多，写得规范清晰有利于老师迅速找出关键要点，这对于老师评分是一个不可忽视的要素.

综上所述，在极坐标和参数方程的学习和教学过程中，学生首先要打好基础，要能准确和熟练地应用基本的原理和公式，只要这样才能保证在公式的运用过程中不犯低级错误.其次，把握解题思想，我们要树立化繁为简、化难为易、相互转化的思想，只有在将题目转化为所熟知的问题，我们解决起来才能得心应手.

参考文献：

[1]师增群.极坐标与参数方程试题研究和应试策略――以2013年高考数学新课标全国卷第23题为例[J].当代教育实践与教学研究，2014（6）：69-71.

篇(4)

一、计算问题

利用直线参数方程x=x■+tcosαy=y■+tsinα（t为参数）中参数t的几何意义解决与距离、弦长、线段长、点的坐标有关的问题.

例1：已知直线l过点P（2，0），斜率为■，直线l和抛物线y■=2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求：（1）|PM|；（2）M点的坐标.

解：（1）设直线的倾斜角为α，依题意可得tanα=■，

sinα=■，cosα=■，

直线l的参数方程为x=2+■ty=■t（t为参数）（*）.

直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y■=2x中，整理得

8t■-15-50=0且Δ>0.设方程的两个根为t■，t■，t■+t■=■，t■t■=-■.

由于M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得|PM|=|■| =■.

（2）中点M所对应的参数为t■=■=■，将此值代入直线的参数方程（*），

点M的坐标为x=2+■×■=■y=■×■=■，M（■，■）即为所求.

一般地，直线x=x■+tcosαy=y■+tsinα（t为参数）与曲线y=f（x）交于A，B两点，对应的参数分别为t■、t■，则线段|AB|的中点M对应的参数t=■.

由t的几何意义得|PA|+|PB|=|t■|+|t■|=t■+t■=3■.

一般地，直线与二次曲线相交，用直线参数方程解题时，则有弦长为|t■-t■|；直线上的点P到两交点的距离和为|t■|+|t■|，距离涉及t的正负时要加以区分.

因为，直线参数方程的标准方程中含有三角函数cosα，sinα（α是直线的倾斜角），所以，在解决直线与圆锥曲线有关问题时，可以将其转化为三角函数问题解决，体现了转化、化归的数学思想，达到数学知识的综合运用，在解高考数学试题时也有用武之地.下面我们以高考题为例加以说明.

二、范围问题

求参数的取值范围，是高考的热点和难点问题，由于求参数范围的方法众多，如何选择往往成为考生思考的难点.如果选择直线的参数方程，利用三角函数的值域求解，则比较简单.

例2（2008年高考福建卷理科第21题）：如图，椭圆■+■=1（a>b>0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，恒有|OA|■+|OB|■

解：（Ⅰ）略，椭圆方程为■+■=1.

（Ⅱ）设直线AB的参数方程为x=1+tcosθy=tsinθ（t为参数），代入■+■=1得

（b■cos■θ+a■sin■θ）t■+2b■cosθt+b■-a■b■=0.

设上述方程的两根为t■，t■，由韦达定理知：

t■+t■=-■t■t■=■①

根据t的几何意义，不妨设|FA|=t■，则|FB|=-t■，|AB|=t■-t■，

又设A（1+t■cosθ，t■sinθ），B（1+t■cosθ，t■sinθ），

|OA|■+|OB|■

（1+t■cosθ）■+（t■sinθ）■+（1+t■cosθ）■+（t■sinθ）■

化简得：1+（t■+t■）cosθ+t■t■

1-■+■

■

显然有a■sin■θ-b■cos■θ+b■-a■b■

即（a■+b■）sin■θ-a■b■

■>sin■θ恒成立，

sinθ∈[0，1]，

■>1，②

椭圆的一个焦点F（1，0），C=1，b■=a■-c■=a■-1③

由②，③得a■

因为a>0，b>0，所以a0，

解得a>■或a■.

本例在解题中，充分发挥了直线参数方程在解题中的优势（参数的几何意义、三角函数变换），由恒成立问题、三角函数的值域，巧妙地利用椭圆中a、b、c的关系实施转化，得到了关于a的二次不等式使问题获解，解题目标明确，思路清晰，方法可行.

三、证明问题

例3（2013年全国理科高考卷第21题）：已知双曲线C：■-■=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F■，F■，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为■.

（Ⅰ）求a，b；

（Ⅱ）设过F■的直线l与C的左、右两支分别相交于A，B两点，且 |AF■|=|BF■|，证明：|AF■|，|AB|，|BF■|成等比数列.

解：（Ⅰ）易得a=1，b=2■，c=3，双曲线方程为x■-■=1.

（Ⅱ）如图，F■（3，0）

设过F■的直线为x=3+tcosκy=tsinα（t为参数）

其中|AF■|=-t■，|BF■|=-t■，

|AB|=|AF■|-|BF■|=|AF■|+2a-|BF■|+2a=4a=4，即-t■+t■=4①

将直线参数方程代入双曲线方程，得8（3+tcosθ）■-t■sin■θ=8，化简得

（9cos■θ-1）t■+48cosθ·t+64=0.

由韦达定理知，

t■+t■=■，t■t■=■.

由①式知|AB|=|t■-t■|=4，

|AB|■=16②

另一方面，

（t■-t■）■=（t■+t■）■-4t■t■=（■）■-4×■=16，解得cos■θ=■.

|AF■|·|BF■|=t■t■=■=16③

篇(5)

一、考查点或曲线的极坐标与直角坐标的互化

例1 （2007年新课标）O1和O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ.

（1）把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程;

（2）求经过O1和O2交点的直线的直角坐标方程.

解析 以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.

（1）x=ρcosθ，y=ρsinθ，由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ.所以x2+y2=4x.

即x2+y2-4x=0为O1的直角坐标方程.同理x2+y2+4y=0为O2的直角坐标方程.

（2）由x2+y2-4x=0，

x2+y2+4y=0，解得x1=0，

y1=0，x2=2，

y2=-2.即O1，O2交于点（0，0）和（2，-2）.过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.

方法总结 1.要抓住极坐标与直角坐标互化公式x=ρcosθ

y=ρsinθ和ρ2=x2+y2

tanθ=yx（ρ≥0，

0≤θ≤2π）这个关键点，这样就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题解决.2.对点的极坐标与直角坐标的互化要抓住公式，但要注意把点的直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限，以便正确地求出角θ，当点位于直角坐标轴上时，可以充分利用数形结合的思想直接写出点的极坐标.

二、考查曲线的参数方程和普通方程的互化

例2 （2008年新课标）已知曲线C1：x=cosθ，

y=sinθ（θ为参数），曲线C2：x=22t-2，

y=22（t为参数）.

（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数;

（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C′1，C′2.写出C′1，C′2的参数方程.C′1与C′2公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由.

解析 （1）C1是圆，C2是直线.C1的普通方程为x2+y2=1，圆心C1（0，0），半径r=1.C2的普通方程为x-y+2=0.因为圆心C1到直线x-y+2=0的距离为1，所以C2与C1只有一个公共点.

（2）压缩后的参数方程分别为C′1：x=cosθ，

y=12sinθ（θ为参数）; C′2：x=22t-2，

y=24t（t为参数）.化为普通方程为：C′1：x2+4y2=1，C′2：y=12x+22，联立消元得2x2+22x+1=0，其判别式Δ=（22）2-4×2×1=0，故压缩后的直线C′2与椭圆C′1只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同.

方法总结 将参数方程化为普通方程的关键是消去参数：一要熟练掌握常用的消参方法（如整体代换、代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法），二要注意参数的取值范围的一致性.

三、考查点的轨迹的参数方程

例3 （2010年新课标卷）已知直线C1：x=1+tcosα，

y=tsinα（t为参数），C2：x=cosθ

y=sinθ（θ为参数）.

（1）当α=π3时，求C1与C2的交点坐标;

（2）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.

解析 （1）当α=π3时，C1的普通方程为y=3（x-1），C2的普通方程为x2+y2=1.联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0），（12，-32）.

（2）C1的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0.A点坐标为sin2α-cosαsinα，故当α变化时，P点轨迹的参数方程为x=12sin2α，

y=-12sinαcosαα为参数，P点轨迹的普通方程为（x-14）2+y2=116，故P点轨迹是圆心为14，0，半径为14的圆.

方法总结 用参数法求点的轨迹方程，是通过已知条件把所求的点的横、纵坐标分别表示为某个参数（该参数通常是角度）的函数，但要注意参数的取值范围.

四、考查曲线参数方程的应用

例4 （2013年浙江）在直角坐标系xOy中，曲线C：x=2cosθ，

y=sinθ（θ为参数），过点P（2，1）的直线与曲线C交于A，B两点.若PA・PB=83，求AB的值.

解析 由题意，曲线C的直角坐标方程为x2+2y2=2.设过点P（2，1）且倾斜角为α的直线的参数方程为x=2+tcosα，

y=1+tsinα（t为参数），设点A，B对应的参数分别为t1，t2.将直线的参数方程代入x2+2y2=2，化简得（1+sin2α）t2+4（sinα+cosα）t+4=0，

则Δ=16（2sinαcos2α-sin2α）>0 且t1+t2=4（sinα+cosα）1+sin2α，t1t2=41+sin2α.

由PA・PB=83得t1t2=41+sin2α=83，故sin2α=12，又由Δ>0得0<tanα<2，故 t1+t2=823，t1t2=83，所以AB=t1-t2=（t1+t2）2-4t1t2=

423.

方法总结 1.曲线的参数方程为x=f（θ），

篇(6)

关键词 参数方程 求导法 高阶导数 教学思路

中图分类号：G424 文献标识码：A

一元函数的导数是高等数学的主要内容，学生能否掌握一元函数的求导直接影响到后面知识的学习。由参数方程所确定的函数的导数是教学中的一个重点也是难点，特别是由参数方程所确定的函数的高阶导数，学生学起来普遍感到困难，做题时，往往容易犯错。笔者结合自己多年来的教学经验，谈一谈对这一部分内容的教学改进。

1 由参数方程所确定的函数的导数

如果参数方程

（1）

确定与间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程（1）所确定的函数。

对于由参数方程所确定的函数一阶导数及高阶导数的求法，大多数常用的《高等数学》教材①②中采用如下的处理方式：

设参数方程（1）确定函数 = （），且（），（）在（）上可导，（）≠0，函数 = （）具有单调连续反函数 = （），且此反函数能与 = （）构成复合函数，那么由参数方程（1）所确定的函数可以看成由 = （）， = （）复合而成的函数。利用复合函数的求导法则与反函数的求导法则，就有

2 原有的教学思路

在以前的教学中，通常采用如下的教学思路：首先讲解一阶求导公式（2）的推导过程，然后求高阶导数时一再强调是对求导，所以求高阶导数时，仍需利用复合函数的链式求导法则，先对求导再乘以对的导数，即

= （）= （）・

从而推导出公式二阶求导公示（3）。按照这样的思路讲解后，发现学生对由参数方程所确定的函数的一阶导数掌握得还可以，但求高阶导数时总容易出现下列的错误解法。

例1 设确定是的函数。求，。

有些学生的解答如下：

很显然，上述解答中二阶导数求解是错的，正确的解答应该为

通过作业发现，犯这种错误的学生还比较多。细究其中的原因发现学生对前面刚学习的复合函数的链式求导法则与反函数的求导法则掌握欠佳，这样直接导致对求导公式（2），（3）的推导不理解。但因为一阶导数有简洁的求导公式（2），学生容易记住。尽管有的学生可能一时还不理解公式（2）的由来。但只要记住了公式，就能求出一阶导数。而求二阶导数虽然有公式（3），但比较复杂，不易理解。而且学生只是认为求二阶导数就是对一阶导数再求一次导，却忽略了对谁求导的问题，从而导致了求二阶导数的错误做法。

3 新的教学思路

在发现学生在学习过程中存在的问题并对其原因进行分析后，决定改进以前的教学思路，采取如下的教学过程：

第一步，仔细讲解一阶求导公式（2）的推导过程，并选几个例题让学生熟悉并牢记一阶求导公式（2）；

第二步，引导学生明白既然是的函数，那么它的一阶导数也应该仍是的函数。但从前面的例题的结果中发现中的变量仍为，比如例题1中 = 。事实上，一阶导数仍是由参数方程所确定的函数，所以，应该表示为

（4）

第三步，既然一阶导数是由参数方程（4）所确定的函数，而求二阶导数就是一阶导数再对求导。故只需要再一次使用由参数方程所确定的函数的一阶求导公式（2），便可得到二阶求导公式，

= （）=

即 = （5）

公式（5）就是由参数方程所确定的函数的二阶求导公式，与其一阶求导公式在形式上是一致的。

例2 设确定是的函数。求。

解： = = =

因为仍然是参数方程，故

= = = =

按照这种方式讲解以后，学生就很少犯例题1解答中那样的错误。而且这样讲解的好处是不仅使二阶导数的求导变得简单直观、容易理解， 而且对于更高阶导数也是如此。

与二阶求导公式类似，我们有

=

例3 在例题2中，求。

解： =

=

=

=

从以上可以看出，在新的教学思路下，由参数方程所确定的函数的高阶导数的求法变得很直观。只要理解和记住了一阶求导公式，那么求任意阶导数都迎刃而解。

篇(7)

一、 消参

已知参数方程，要求消去参数将其化为普通方程，进而更好地研究参数方程所表示的曲线的几何性质.这是学习参数方程的最低层次.

例1

已知曲线C的参数方程为C：x=2cos θ，y=2sin θ（0≤θ≤π），求曲线C的长度.

分

析

要求该曲线的长度，需知该曲线的形状，而该曲线是由参数方程的形式给出的，因此先要消去参数化为普通方程，再看其表示的是何种曲线，进而解决本题.

解

因sin2 θ+cos2θ=1，故曲线C的参数方程可化为x2+y2=4，不难知道该普通方程所表示的图形是圆.但注意到0≤θ≤π，故该参数方程所表示的曲线是以坐标原点为圆心，2为半径的半圆（上半圆）.所以其长度应是圆周长l=2πR=4π的一半，即曲线C的长度为2π．

点

评

消参是学习参数方程的第一层次，也是最低层次，特别值得注意的是消去参数时一定要注意参数的取值范围，保持消参后的普通方程与原参数方程的等价性.

二、 用参

已知参数方程，如何灵活、正确地使用好参数，是学习参数方程的第二层次，有一定的难度.

例2

已知直线l的参数方程为l：x=1+t，y=1-t（t为参数），曲线C的参数方程为C：x=2cos θ，y=sin θ（0≤θ≤2π），若直线l与曲线C交于两点M，N，求线段MN的长度.

分

析

本题若直接消去参数将曲线C与直线l化归为普通方程，则过程较为繁冗，而且具有一定的难度.其实只要将曲线C化归为普通方程，再灵活运用直线l的参数方程，即可使本题简捷巧妙地获解.

解

将曲线C化为普通方程，可得x2+4y2=4（该曲线为椭圆），直接将直线l的参数方程代入，可得5t2-6t+1=0，解之得t=1或t=15．

当t=1时，x=2，y=0，即得直线l与曲线C的一个交点为M（2，0）；当t=15时，x=65，y=45，即得直线l与曲线C的另一个交点为N65，45．所以线段MN的长度|MN|=452+452=452．

点

评

灵活借助直线的参数方程，巧妙将问题进行化归和转化，从而使得问题的解答简捷明快，发挥了参数方程的优势，体现了参数的功能与优越性.

三、 设参

如何依据题设条件设置参数，巧妙建立参数方程，进而将问题进行合理、有效地化归与转化，是学习参数方程的第三层次，也是学好参数方程的最高境界.

图1

例3

如图1，给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，则x+y的最大值是 .

分

析

不难看出点A，B，C都在半径为1的圆上，因此解答本题的关键是如何选择变量做为参数.这里可以通过建立以O为原点，OA为x轴的平面直角坐标系，设OC与OA的夹角为θ，借助圆的参数方程构建出关于θ的函数，再求其最大值.

解

建立以O为原点，OA为x轴的平面直角坐标系，设OC与OA的夹角为θ(0＜θ＜2π3)，则A（1，0），B（cos120°，sin120°），C（cos θ，sin θ）．

由OC=xOA+yOB，得x+ycos120°=cos θ，ysin 120°=sin θ，即x-12y=cos θ，32y=sin θ，可得y=23sin θ，x=13sin θ+cos θ，所以x+y=3sin θ+cos θ=2sin (θ+π6)，注意到0＜θ＜2π3，故当θ=π3时，x+y取最大值2.

点

评

本题通过建立平面直角坐标系，并选取OC与OA的夹角为参变量，借助圆的参数方程与向量的坐标形式建立目标函数，最终将问题化归为求给定区间上的三角函数的最大值问题.设置参数起到了简捷明快地解题的作用.

1. 已知曲线C的参数方程为

x=t-1t，