高等函数的概念精品(七篇)

序论：写作是一种深度的自我表达。它要求我们深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隐藏在内心深处的真相，好投稿为您带来了七篇高等函数的概念范文，愿它们成为您写作过程中的灵感催化剂，助力您的创作。

篇(1)

【关键词】高等数学；一致性；连续性；函数

一、高等数学函数一致性连续性的基本概念

高等数学中的一致连续性是从函数连续的基本概念中派生出来的新释义，它是指：存在一个微小变化的界限区间，如果函数定义域以内的任意两点间的距离永远不超过这个界限范围，则这两点相对应的函数值之差就能够达到任意小、无限小，这就是所谓的函数一致连续性概念。一直以来，高等数学函数一致连续的概念都是教学过程中的重点，也是难点之一，在多年的高等数学教学实践过程中，笔者深刻感受到学生在学习和掌握函数一致连续概念时的疑惑和困难。甚至有不少学生会有这样的疑问：函数连续和一致连续的本质区别究竟体现在哪里？

带着上述问题，我们对函数一致连续性进行研究和分析。函数的一致连续性是函数的一个重要的特征和性质，它标志着一个连续函数的变化速度有无“突变”现象，并对其连续性进行归纳总结。函数一致连续性，要求函数在区间上的每一点都保持着连续的特点，不允许出现“突变”现象，同时还进一步要求它在区间上所有点邻近有大体上呈现均匀变化的趋势。换句话说，函数一致连续性的定义为：对于任给定的正数ε，要求存在一个与自变量x无关的正数δ，使对自变量在定义域区间内的任意2个值x'和x"，只要二者的距离x'-x"＜δ，那么函数所对应的函数值f（x'）-f（x"）＜ε。显然，函数一致连续性的条件要比函数连续的条件强。在目前采用的高等数学的教材中，只是给出一致连续的基本定义，以及利用该定义证明函数f（x）在某区间上一致连续的数学方法，进而呈现出了函数一致连续的完美逻辑结果。这种教学理念是很好的，但是，从实践教学效果上看，又很不利于学生对定义的理解，尤其不利于学生对定义中提到的“δ”的理解，因此笔者建议教学工作者将函数一致连续性概念中所隐含的知识逐步解释清楚，以此来帮助广大学生更快更好地充分理解一致连续的概念和意义。高等数学函数连续性的基本定义为：设f（x）为定义在区间I上的函数，若对ε＞0，对于每一点x∈I，都存在相应δ=δ（ε，x）＞0，只要x'∈I，且x-x' ＜δ，就有f（x）-f（x'）＜ε，则称函数f（x）在区间I上连续。该定义说明了函数f（x）在区间I上连续的基本特征。函数一致连续的基本概念是：设f（x）为定义在区间I上的函数，若对ε＞0，存在δ（＞0），使得对任何x'，x"∈I，只要x'-x"＜δ，就有f（x'）-f（x"）＜ε，则称函数f（x）在区间I上一致连续。要特别注意的是，连续概念中δ与一致连续概念中的δ完全不同，一定要充分理解其各自的定义，才能避免混淆概念。为了帮助大家更好地理解函数一致连续性概念，现将函数函数不一致连续的概念进行一下描述：存在某个ε0，无论δ 是怎么样小的正数，在I上总有两点x' 和x"，虽然满足x'-x" ＜0，却有f（x'）-f（x"）＞ε。这就是函数不一致连续的概念，理解和学习函数不一致连续的相关知识，有利于我们更好地学习和研究函数一致连续性问题。

二、高等数学引入一致性连续性的意义和价值

高等数学教材中涉及了较多的理论和概念，比如函数的连续性与一直连续性，以及函数列的收敛性与一致收敛性等，都是初学者很容易混淆的相近概念，因而也成为了高等数学学习中的一个难点问题。在工程数学中，这些概念非常重要，笔者认为，搞清楚和弄明白函数的一致连续的基本概念，以及掌握判断函数是否具有一致连续特性的基本方法，无疑都将是理工科学生学好高等数学函数一致连续性理论知识的核心环节，也是日后成熟运用该数学方法的基础和前提。通过学习和比较，我们能够得出一个很明显的结论：一致连续要比连续条件强。高等数学函数一致连续是一个很重要的概念，在微积分学以及其他工程学科中常常会用到一致连续的知识，而且函数列的一致连续性和一致收敛又有着密切的相互关系。实际上，我们在进行函数列的收敛问题研究时，常常要用到函数列与函数之间的收敛、一致连续性、一致收敛等概念及其关系。函数一致连续的概念是学生学习高等数学的一个难点问题，证明某一个函数是否具有一致连续性是其中的瓶颈问题，这让很多理工科同学感到无从下手。为了解决这一难点，达到化抽象为简单的教学目的，笔者建议给出一致连续性的几种常见等价形式，能够很好地帮助学习高等数学的同学更易于理解和掌握函数一致连续性这一知识要点。高等数学中的函数一致连续性、函数列一致有界性、函数列一致收敛性等“一致性”概念是学习上的难点，也是教学大纲中的重点。因此，牢固掌握这些概念及与之有关的理论知识，对于培养学生良好的数学素养和创新能力都有着重要的意义。

函数一致连续的几何意义非常非常重要。数学分析抽象而且复杂难懂，这门学科本身就有着极强的逻辑思维和严密特征，主要体现在它能够采用最简明的数学语言来准确表述其他语言无法量化的复杂多变的事物发展过程。换言之，其作用在于，能够量化抽象事物的动态发展过程。其几何意义将在高等数学课程入门中起到一个有利引导作用，清晰明朗地向学生展示高等数学中最基本的思想方法和思维方式，帮助学生理解抽象概念，提高学生培养自身的创新思维能力。另外，探讨函数一致连续和一致收敛的关系，同时在有界区间上给出一致连续和一致收敛的等价关系，有利于学生在今后研究连续、收敛问题中拥有更多的参考依据。

三、解决高等数学函数一致性连续性问题的对策

1.一元函数在有限区间上的一致连续性

由于用函数一致连续的定义判定函数 是否一致连续，往往比较困难。于是，产生了一些以G.康托定理为基础的较简单的判别法。

定理1 若函数 在 上连续，则 在 上一致连续。

这个定理的证明方法很多，在华东师大版数学分析上册中，运用了有限覆盖定理和致密性定理来分别证明，本文选用闭区间套定理来证明。

分析：由函数一致连续的实质知，要证 在 上一致连续，即是要证对 ，可以分区间 成有限多个小区间，使得 在每一小区间上任意两点的函数值之差都小于 。

证明：若上述事实不成立，则至少存在一个 ，使得区间 不能按上述要求分成有限多个小区间。将 二等分为 、 则二者之中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小区间，记为 ；再将 二等分为 、 依同样的方法取定其一，记为 ；......如此继续下去，就得到一个闭区间套 ，n=1，2，…，由闭区间套定理知，存在唯一一点c满足

（2-13）

且属于所有这些闭区间，所以 ，从而 在点 连续，于是 ，当时，就有

。（2-14）

又由（2-13）式，于是我们可取充分大的k，使 ，从而对于 上任意点 ，都有 。因此，对于 上的任意两点 ，由（2-14）都有 。（2-15）

这表明 能按要求那样分为有限多个小区间，这和区间 的取法矛盾，从而得证。定理1对开区间不成立。阻碍由区间连续性转变为区间一致连续性有两种情况：（1）对于有限开区间，这时端点可能成为破坏一致连续性的点；（2）对于无限区间，这时函数在无穷远处也可能破坏一致连续性。

定理2函数 在 内一致连续在 连续，且 与 都存在。

证明：若 在 内一致连续，则对 ，当 时，有

，（2-16）

于是当 时，有

。（2-17）

根据柯西收敛准则，极限 存在，同理可证极限 也存在，从而 在 连续， 与 都存在。

若 在 连续，且 和 都存在，则

令（2-18）

于是有 在闭区间 上连续，由Contor定理， 在 上一致连续，从而 在 内一致连续。

根据定理2容易得以下推论：

推论1 函数 在 内一致连续在 连续且 存在。

推论2 函数 在 内一致连续在 连续且 存在。

当 是无限区间时，条件是充分不必要的。

2.一元函数在无限区间上的一致连续性

定理3 在 内一致连续的充分条件是 在 内连续，且 都存在。

证明：（1）先证 在 上一致连续。

令 ，由柯西收敛准则有对 使对 ，有

。 （2-19）

现将 分为两个重叠区间 和 ，因为 在 上一致连续，从而对上述 ，使 ，且 时，有

。 （2-20）

对上述 ，取 ，则 ，且 ，都有

。 （2-21）

所以函数 在 内一致连续。

（2）同理可证函数 在 内一致连续。

由（1）、（2）可得 在 内一致连续。

若将 分为 和 ，则当 与 分别在两个区间时，即使有 ，却不能马上得出 的结论。

由定理3还容易得出以下推论：

推论3 函数 在 内一致连续的充分条件是 在 内连续，且 存在。

推论4 函数 在 内一致连续的充分条件是 在 内连续，且 与 都存在。

推论5 函数 在 内一致连续的充分条件是 在 内连续，且 存在。

推论6 函数 在 内一致连续的充分条件是 在 内连续，且 与 都存在。

参考文献：

[1]王大荣，艾素梅；分段函数在分段点处的求导方法刍议[J]；沧州师范专科学校学报；2005年03期

[2]袁文俊；邓小成；戚建明；；极限的求导剥离法则[J]；广州大学学报（自然科学版）；2006年03期

篇(2)

    学习数学可以锻炼学生严谨的思维,培养分析问题和解决问题的能力,高等数学是各高校的理工农林等专业学生必修的基础课。在高等数学中起着基础、关键、贯穿作用的是数学概念。每个数学概念是构建数学理论大厦的基石,是导出数学定理和数学法则的逻辑基础,是提高解题能力的前提。数学概念的简洁、抽象、严谨等特点导致很多学生对高等数学学习有畏惧感,感觉抽象、枯燥,乏味。在有限的学时内,让学生正确理解概念,教师举例说明是直观的,可以减少学生学习活动的盲目性。逆向思维可以打破学生的定向思维,使其从多层次、多角度理解概念,进而深入的掌握知识,大大的开拓视野。利用反例教学在高等数学的教学中起着画龙点睛的作用。

    分段函数是指在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子表示的一个函数。分段函数在每段内对应的解析式是初等函数,在分段点处的特性往往会发生很大的异常,这也是用作反例的重要价值。本文主要将一元分段函数作为反例,在高等数学中学生不易理解或者易混淆的几个重要概念中进行应用。

    1 初等函数与分段函数

    由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算而形成的并可用一个式子表示的函数称为初等函数。由于分段函数是由几个式子表示的函数,有些老师讲解初等函数的概念时,只强调初等函数用一个式子表示,轻易地得出分段函数非初等函数的结论。事实上并非所有的分段函数都不是初等函数。

    例如,函数y=3x+2,x?叟0x+2,x<0为分段函数,但是该函数可以用y=2x+■+2一个式子表示,显示该分段函数是初等函数。其实分段函数在满足一定条件下是初等函数,可参考文献[2]。通过此分段函数例子可以加深学生对分段函数和初等函数概念的理解,并且扩大学生的思维。

    2 有界函数与函数值

    若函数f(x)在区间I内有界,则称f(x)在区间I内为有界函数。初学有界函数概念的学生易与有限的函数值混淆。事实上函数有界是函数在研究区间整体的一个性质,函数值是某点按照对应法则计算的结果,这两个概念是整体和局部上的区别。

    例如,分段函数f(x)=■,x≠00,x=0在任意x0点的函数值为有限值■,但是对任意的θ(θ>1),不妨取x0=■≠0,有f(x0)=■=2θ>θ,从而知函数f(x)为无界函数。

    3 函数极限与函数值

    如果在xa的过程中,对应的函数值f(x)无限地接近于常数A,则称数A是函数f(x)在点a的极限。初学函数极限的学生易想当然的认为函数的极限就是函数在点a处的函数值。事实上函数在点a处极限值的存在与该点处函数值无关。

    例如,已知函数f(x)=■,x≠25,x=2,极限■f(x)=

    ■■=■(x+2)=4,而在x=2处的函数值f(x)=5≠4。

    4 无穷大与无界函数

    若对于任意给定的不论多么大的正数M,总存在δ>0,当0<x-a<δ时,有f(x)>M成立,则称函数f(x)当xa时为无穷大。初学者常错误的将无穷大等价为无界函数。事实上无穷大是在研究范围内为无界函数,但反之不一定成立。无界是指自变量在定义域内,函数值没有界限,但是可能并没有一个趋势。无穷大是在自变量的某个变化过程中有确定的趋势。

    例如,已知数列函数f(n)=n,n=2k■,n=2k+1,其中k为整数。显然它是一个无界数列函数,但当n+∞时,它不是无穷大,因为奇数子列是收敛的,极限值为0。

    5 原函数和可积

    若f(x)在闭区间I上有原函数,很多学生就认为函数f(x)在闭区间I上可积。这是因为他们将原函数和可积两者认为等价的。事实上,函数具有原函数和可积不是充要条件。

篇(3)

关键词：高等数学；反例；应用

中图分类号：O13

1， 反例在高等数学教学中的作用

高等数学的反例是指符合某一个命题的条件，但又和此命题结论相矛盾的例子。正确的命题需要严密的证明，错误的命题则靠反例否定。

1.1 有助于基本概念的深化理解

关于二元函数的极限的概念，现在的描述性定义尽管比过去的“ ”定义简单，但 是表示点 以任何方式接近于点 ，所以在讨论极限是否存在时，只要选择两条不同路径，而按这两条路径计算的极限值不同，既可说明极限不存在。

例 讨论二元函数

是否存在极限？

解 当点 沿直线 趋于点 时，有

，当点 沿直线 趋于点 时，有 。可见沿不同路径函数趋于不同值，该函数的极限不存在。又

同理可得 ，二元函数在一点不连续，但其偏导数却存在。但对于一元函数是可导必连续，连续未必可导。

1.2 有助于基本定理的理解掌握

在高等数学中，学生对定理条件和结论之间的“充分”、“必要”性的理解通常是学习难点。而反例使学生打开眼界，拓宽思路，从而全面正确理解高等数学的基本定理。拉格朗日定理是微积分的基本定理，关于它的学习，一般先介绍定理（若函数 满足条件： 在 上连续； 在 上可导，则在 内至少荐在一点 ，使得

成立），再结合图形给予证明。对给定的具体函数，要求能够判断其是否在所给区间上满足指定的定理的条件，并能求出满足定理中的 。

1.3 有助于错误命题的有效纠正

在一元函数中有两个重要结论。一是可导必连续，连续未必可导；二是若f （x）在某某区间（a， b）内只有一个驻点 ，而且从实际问题本身又能够知道f （x）在该区间内必定有最大值或最小值.则 就是所要求的最大值或者最小值。按照常规的思维模式，人们很自然把它们推广到二元函数。

2 在高等数学教学中反例的应用

在高等数学教学中加强反例思想的渗透，能够强化学生对一些基本概念和定理的学习和理解，并能够激发学生学习数学的兴趣，进一步提高教学效果。

2.1 恰当构造反例，加深对概念的理解

理解概念是学生学好高等数学的基础，也是其能力培养的先决条件。通过反例，从反面消除一些容易出现的模糊认识，严格区分那些相近易混的的概念，把握概念的要素和本质。在高等数学的极限概念教学中，恰当地构造反例，会得到事半功倍的效果。在极限概念的学习中，学生认为：①有界函数的极限一定存在；

②若 存在，但 不存在，那么 不存在。上述两种想法都是错误的.对于①构造反例

因为当 时， 不能无限接近于一个确定的常数 ，所以，极限 不存在，对于②构造反例 ，

2.2正确应用反例，加深对定理的理解

定理教学中，反例和证明具有同等重要的地位，通过严密的证明才能够肯定一个命题的正确性，而巧妙的反例即可否定一个命题的正确性。

在高等数学的定理教学中，正确地应用反例，能够全面地理解定理的条件和结论，更好地应用定理解决问题。关于罗尔定理（若函数 满足条件： 在 上连续； 在 上可导；. 。则在（（a，b）内至少存在一点 ，使得 成立）的教学，因为它只是拉格朗日的特例，一般是结合图形给予说明，不做重点讲解。但能够应用反例加深对定理的理解，说明罗尔定理的三个条件是使 成立的充分条件，而不是必要条件。

2.3 有效利用反例，纠正习题中的错误

学习高等数学需要解题，在解题中要鼓励学生从多方面进行思考，多角度进行探索，挖掘新思路：鼓励学生去联想发挥，改变条件，对习题进行拓宽。有些失误难以通过正面途径检查出来，而举反例就能在较短的时间内，较直观地反映出错误所在，而且，由此往往能产生正确的途径。

“反例”揭示了数学上这种“失之毫厘，差之千里”的特点，达到了教学中那种“打开眼界，拓宽思路”的效果。所以，在高等数学教学中，广大教师应重视和恰当地应用反例。

参考文献

[1]吴里波.浅谈高等数学课中微分中值定理教学方法一反例教学法.思茅师范高等专科学校学报，2012（3）.

篇(4)

【关键词】函数 极限

【中图分类号】G642【文献标识码】A【文章编号】1006－9682（2009）01－0071－01

高等数学的基本研究对象是函数，而研究函数的基本方法是极限，极限的概念是个比较抽象的概念。对于那些从初等数学进入高等数学的高职高专学生而言，不论从知识结构方面，还是从思维方式上来讲，都要有一个本质的转变。为了更好的实现这个转变，就要求我们教师必须把要教的知识内容进行必要的加工，按照学生的实际情况逐渐引导学生走上正确的分析思维，抽象，概括，解决实际问题的道路。

一、讲解实例，使学生获得有关极限概念的感性认识。

为了使学生更好的理解极限的概念，我们先从以下2个例子来讲解。

例1：如何求圆的面积？

解题思路：用圆内接正n边形的面积去逼近圆的面积。

设有一圆，其面积记为s，做它的正四边形，正八边形……正n边形，记做s4，s8……sn，当圆内的正多边形的边数越来越多的时候，它的面积就越近似于圆的面积，即当n∞时，sns。

这个例题是非常有名的“刘徽割圆术”，虽然当时没有严格的极限定义，但是他的这种思想正是体现了极限的概念。

例2：求变速直线运动的瞬时速度。

对这个实例应着重弄清两个问题：第一，要求瞬时速度，为什么要先考虑平均速度？第二，为什么要规定瞬时速度是平均速度的极限？在瞬时速度的概念提出之前，已经有了匀速直线运动的速度概念及其计算方法，引出平均速度只要是将非匀速直线运动转化为迅速运动来处理，从而求出瞬时速度的近似值。

（s―位置的改变量；t―时间的改变量）

表示物体在t时间内的平均速度，它随t的变化而变

化，当时间改变量t越来越小时，位置的改变量s也越来越小，

而平均速度 越来越接近一定值，即平均速度作为瞬时速度的

近似值，其近似程度越小越好，但不管t多么小，所求得的平均速度还不是t时刻的速度，而只是它的一个近似值。要把这个近似值转化为精确值，即求出了t时刻的速度，只有缩小t，当t0时，v（t）v平均，也就是说t越变越小，v平均与v（t）就越接近，有近似值而飞跃到了精确值。

重点讲清这个事例后，从而使学生认识到研究非均匀变化的变化问题确实是世界中存在的普遍问题，而这类问题的解决都归纳为求极限的问题。

二、根据实例给出函数极限的定义

通过上面两个例子，我们可以将它们看作是一个函数。如果给定一个函数y＝f（x），其函数值y会随着自变量x的变化而变化，若当自变量无限接近于某个“目标”，这个目标可以是任意一个确定的常数x0，也可以是＋∞或－∞。此时，函数值y无限接近于一个确定的常数A，则称函数f（x）以A为极限，下面就以例题并结合它的数值表充分说明函数的极限。

例3：考察当x3时，函数 的变化。

解：函数 在（－∞，＋∞）有定义。

设x从3的左、右侧无限接近于3，即x的取值及对应的函数表如下：

x … 2.9 2.99 2.999 … 3 … 3.001 3.01 3.1 …

f（x） … 2.97 2.997 2.9997 … 3 … 3.003 3.03 3.3 …

数值表给出后，教师应该引导学生去从静态的有限量来刻画动态的无限量，通过直观的数据让学生看到，当x越来越接近于

3时，也就是我们所说的那个目标，函数值 的值就

无限接近于3，体现了我们最后用近似值代替精确值的思想。那么，由这个例题，教师可以给出极限的定义。

定义：设函数f（x）在点x0的某一空心领域内有定义，如果当自变量x无限接近于x0时，相应的函数值无限接近于常数A，则称A为xx0时，函数f（x）的极限，记作： 或

f（x）A（xx0）。

极限的定义给出以后，教师可以让学生根据极限的定义写出

例三的极限，即 。

这时，有些同学可以看到， 的极限值与f（3）的函

数值相等，这是怎么回事？它会给同学们一个错误的概念，求极限就是在求函数值，虽然在后面我们会讲到某些函数求极限是靠函数值求出来的，但是这二者之间没有任何关系。

例如，求 ，如图所

示，当x＝1， 无意义，所

以函数值是不存在的，而当x1时，从图象上可以看出

，所以说，极限是否存在与这点有没有函数值没有

任何关系。

参考文献

1 侯风波. 高等数学（第2版）. 北京：高等教育出版社，2003.8

篇(5)

关键词：区域 域 开域 闭域

在学习“多元函数微积分”或者“复变函数”时都要先学习平面点集的一些基本概念。也就是将R1中的区间、开区间、闭区间等概念推广到R2中。下面是同济大学数学系编《高等数学（第六版）下册》中给出的关于平面点集的几个概念的定义。

开集：如果点集E 的点都是E 的内点， 则称E为开集。

闭集：如果点集E的边界？坠E？奂E，则称E为闭集。

开集的例子： E={（x， y）|1

闭集的例子： E={（x， y）|1≤x2+y2≤2}。

集合{（x， y）|1

连通集： 如果点集E内任何两点，都可用折线联结起来，且该折线上的点都属于E，则称E为连通集。

区域（或开区域）： 连通的开集称为区域或开区域。例如：E={（x， y）|1

闭区域： 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域。例如E={（x， y）|1≤x2+y2≤2}。

国内出版的其他《高等数学》《微积分》和《复变函数》的教材中关于这几个概念的定义都基本相同。根据上述定义不难发现，R1中的开区间、闭区间在R2中分别与区域（开区域）、闭区域相对应，但是R1中的区间在R2中没有与之对应的概念。我们可以说开区间和闭区间都是一种区间，但却不能说开区域和闭区域都是一种区域。因为区域和开区域是同一个概念，所以区域不是开区域和闭区域的属概念，而区间却是开区间和闭区间的属概念。

查阅英文原版教材发现英文版的《微积分》及《复变函数》教材中关于平面点集的概念体系与国内现行教材有差异。下面是美国James Ward Brown和Ruel V. Churchill合著的《复变函数及应用（英文版·第7版）》中给出的关于平面点集的几个概念的定义：

A set is open if it contains none of its boundary points. It is left as an exercise to show that a set is open if and only if each of its points is an interior point.

A set is closed if it contains all of its boundary points.

An open set that is connected is called a domain.

A domain together with some， none， or all its boundary points is referred to as a region.

从上面的定义可以看出，“开集（open set）”和“闭集（closed set）”与国内教材是一致的。与“domain”对应的是“区域”，但是英文教材中多了一个“region”，它是“open region”和“closed region”的属概念。如果按照国内教材现行的概念体系，没有与“region”对应的中文术语。在上述英文版教材的中文版中勉强生造了一个术语“带边区域”来翻译“region”，我认为翻译得很不恰当，因为国内教材的概念体系与国外教材的概念体系有冲突，只有将国内教材中的个别概念重新定义和命名，才能找到好的翻译，下面是我的修改建议：

1.废除“区域”的别名“开区域”。

2.在“区域”的基础上定义一个新的概念“域”，与英文中的“region”对应，定义和英文教材中相同：一个区域加上某些、或者不加、或者加上全部的边界点形成的点集称为域。

3.再定义“开域”和“闭域”：一个区域不加任何边界点即区域自身叫做开域，因此开域与区域的外延相同，开域成了区域的新的别名。一个区域加上全部的边界点形成的点集称为闭域。域是开域和闭域的属概念。

按上面的方法修改之后，中文教材中的概念体系就和英文教材中的概念体系完全一致了，“region”也就有了更好的译名：“域”。现代数学本来就是从国外引进，所以在教材的编写上与国际接轨无可厚非。而且比较关于平面点集这部分内容的中外教材，英文教材的概念体系逻辑性更强。有跟“区间”（interval）对应的概念“域”（region），便于从一元函数微积分过渡到多元函数微积分。

最后简单介绍一下这几个概念之间的关系以供教学参考：

1.开集与闭集不是矛盾关系而是交叉关系，因为整个平面R2既是开集又是闭集。所以如果把平面点集分为开集、闭集和既不开也不闭的点集的分类是不科学的，因为科学的分类不允许有重复。开集和闭集的关系可用下图表示：

■

2.区域（开域）和闭域的关系也跟开集和闭集的关系一样是交叉关系，因为整个平面R2既是开域又是闭域。区域（开域）和闭域的关系也用图形来表示：

■

参考文献：

[1] 同济大学数学系.高等数学（第六版 下册）.北京： 高等教育出版社， 2007.

[2] 钟玉泉.复变函数论（第二版）.北京： 高等教育出版社，1988.

[3] Wilfred Kaplan.高等微积分学（第五版 英文版）.北京： 电子工业出版社， 2004.

[4] James Ward Brown， Ruel V. Churchill .复变函数及应用（英文版·第7版）.北京： 机械工业出版社， 2004.

篇(6)

随着计算机的普及，数学进入了许多以往不曾涉及的领域。原来大学课程中只作定性分析的学科，现在开始了定量分析，如经济学、社会学、生态学、医学等。这些学科与数学相互交叉，大量的新学科纷纷出现，数学不再被理工科学生独享，更多的文科生加入到这个学科中来。

一、重视高等数学概念的巩固

数学概念体现了数学的明确性和严密性。在高等数学中，诸如"函数"、"极限"、"积分"这样一些概念的定义，都是为了正确地规定数学中所使用的术语的含义。人们就是充分运用了数学概念的作用，有效地从数和量的角度对事物进行分类，从而展开数学思维活动和形成数学思想与方法的。数学概念寥寥数语就包含了丰富复杂的思想内容，而将它与既有明确性又有严密性的其他概念结合起来，又进一步创造出新的概念，反复地这样做，逐步创造出含义越来越丰富的数学概念、数学思想和数学方法。数学概念的一个基本特点是具有抽象的形式化。函数概念的形成过程就可以说明这一点。尽管"函数"的朴素观念，几乎是与数学本身同时出现的，表现在研究物体的大小以及位置关系时，自然就碰到了通常函数关系的那种数量关系。然而，作为数学研究对象的函数概念，直到17世纪末才由莱布尼兹引入。后来人类经过多次抽象化，函数概念才逐步形成今天的面貌。考察这个全过程，数学概念的抽象性的特点就变得一目了然了。最初人类把函数只是当作"幂"的同义语，到莱布尼兹才把"凡是与曲线的点有关的量"称为函数。

巩固概念是概念教学的重要环节。心理学原理告诉我们，概念一旦获得，如不及时巩固，就会被遗忘。巩固概念，首先应在引入、形成概念后，及时进行复述，以加深对概念的印象；其次应重视在发展中巩固；第三是通过概念的应用来巩固。概念的应用要注意递进的过程，即由初步的、简单的应用，逐步发展到较复杂的应用。要注意引导学生在判断、推理、证明中运用概念，在日常生活、生产实践中运用概念，以加深对概念的理解，达到巩固概念的目的。反映在具体概念的教学中，应当引导学生思考分析以下几个问题：（1）新概念是怎样引进的，它的实际背景和现实模型是什么？（2）新概念的内涵是什么，外延有哪些，它和已学过的旧概念有何内在联系？（3）怎样判断某一个对象是否合乎定义的要求，怎样列举不符合定义要求的反例？（4）利用新概念可以解决什么问题？（5）条件许可的话，还可以进一步分析新概念为什么采用这样的定义，能否改变定义项？如在讲到一元函数微分概念时，可做以下分析：在数学中给出（界定）一个概念（定义），接着就应该讨论它的内涵和外延。在此，定义之后就应该考虑什么样的函数是可微函数？可微函数具有什么特征（性质）？第一个问题若用定义去检验判别有点大海捞针的感觉，因为函数太多了，因此常从第二个问题人手，利用可微函数的定义讨论这类函数所具有的性质，也就是可微函数的必要条件。接着自然会问：这条件是否又是充分条件呢？若是，就解决了什么样的函数可微这个问题。若不是，通过完善条件导出可微定义中的条件，也就解决了第一个问题。

二、重视对数学思想、方法的训练

对许多知识淡化了严密的推导过程，并不等于我们对于所有结论都简单而直接地拿来。我们把节省的时间，除了用来训练学生应用数学知识的能力，还用来对学生进行数学思想方法的训练。例如，定积分的学习，单纯从计算的角度出发，在学习了不定积分后，只需10分钟讲明"牛顿-莱布尼兹"公式即可。可这样做，削弱了学生对定积分的理解，而且"微元法"这一基本的、有实用价值的思想方法将与学生失之交臂。因此，我们从学生熟悉的求平面图形的面积入手，引导学生体验领悟微元法，然后通过物理学、经济学的实例，加深对微元法的理解。同时，应加强基础学科交叉、注重素质教育。由于高等数学的主要内容是微积分，因此，要求学生对一元函数微积分学的知识要掌握牢固、扎实，能熟练运用其基本理论和公式计算有关题目。为此，我们应安排的课时较多一些，如在解方程中介绍行列式的知识；在极值的应用中结合管理学的知识等。在讲授例题中注重学生能力的培养，鼓励学生一题多解，培养学生的创新意识。对课程改革要制定明确的目标和详细的措施，同时制定相关的规章制度以保证这些制度的有效执行，并对这些措施进行及时总结和改进。通过这些措施的实施，课程改革才能取得较为明显的效果。

三、在课堂教学中加强数学思想方法教学的手段

1）编写新的高等数学教案。这之中，对其体系结构、内容选取、练习内容、形式以及叙述的方式都要体现数学思想方法教学的要求，特别要重视编写好绪论和每章开始的概述和末尾的结束语或小结。

2）根据每一教学内容的类型和特点去设计贯彻数学思想方法教学的途径。教师要以启发式教学思想为指导，尝试采用发现法、探究法等多种教学法，充分运用变式教学，发挥教师的向导作用，创造性地运用技巧，拓展学生的思维空间。

3）指导学生做好各章节的小结，阅读有关数学思想方法的参考书或举办专题报告会。教师要在充分研究和了解学生的基础上，运用讨论法、研究法等鼓励学生相互探讨、争论、交流思维方法，相互启迪，产生共鸣。

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1.以高等数学符号、概念为背景来设计试题。

此类题目的命制是在题设中直接引入了高等数学中的某些概念、结论、运算等，要求学生能内化题目给定的信息，抓住相应的关系和特征，结合原有的初等知识解决问题。

例1（2009福州）在空间直角坐标系中，对其中任何一向量 ，定义范数 ，它满足以下性质： ，当且仅当 为零向量时，不等式取等号；（2）对任意的实数 ， （注：此处点乘号为普通的乘号）。（3） 。试求解以下问题：在平面直角坐标系中，有一个向量 ，下面给出的几个表达式中，可能表示向量 的范数的是__（4）___.（把所有正确答案的序号都填上）

（1） （2） （3） （4）

【追根寻源】设V（F）是数域F上的线性空间，定义在F上的实值函数P：V（F）R如果满足以下条件：

正定性：x0，当且仅当x=0时等号成立；

齐次性：kx=kx；k∈R；

三角不等式：x+yx+y；

则称此实值函数P为V（F）上的范数，给定范数的线性空间（X，P）为赋范空间。[

【评析】本题以大学范数的概念为载体，考查演绎推理，抽象函数及其应用的。该函数具有一定的抽象性及函数图象的不可作出性，因此该函数的性质在理解时也具有很强的抽象性，体现了高考对数学本质、数学概念和性质的形成过程的考查.考查了学生的阅读理解能力、推理论证能力、抽象概括能力、数据处理能力。

【说明】高斯函数、小数函数、狄利克雷函数、分渐近线、凸凹性、整除性环域、群、封闭性等均可成为此类试题的源泉。

2.以高等数学的运算系统为背景来设计试题

此类题目的命制是以高等数学的抽象代数中的运算系统知识为背景设计一个陌生的数学情景，给出一定容量的新信息，通过阅读相关信息，捕捉解题灵感而进行解答的一类新题型。

例2（2011广东高考）设S是整数集Z的非空子集，如果 有 ，则称S关于数的乘法是封闭的.若T，V是Z的两个不相交的非空子集， 且 有 有 ，则下列结论恒成立的是（A）

A. 中至少有一个关于乘法是封闭的

B. 中至多有一个关于乘法是封闭的

C. 中有且只有一个关于乘法是封闭的

D. 中每一个关于乘法都是封闭的

【追根寻源】假定G是一个有代数运算“+”的非空集合，如果满足下面条件，那么我们就说G对于代数运算“+”构成群：

（1）结合律成立：即对于任意 都有（ + ）+ = +（ + ）；

（2）在G中存在一个元素 ，叫做G的单位元，对于任意 ，都有 + = + = ；（3）对于任意 G，在G中存在一个元素 叫做 的逆序元，使得 + = + = ，这里 是一个固定的单位元。

【评析】此题以大学的群运算为载体，正确理解封闭的含义是解答的关键。试题具有一定的开放性，便于考查学生对新颖材料的学习理解能力、信息处理的解题能力。

【说明】整除性、环域、群、封闭性常为构成此类试题的源泉。

3.以高等数学的知识居高邻下设计试题

此类试题运用高等数学的公式、定理、性质或其变式、引申，居高邻下设计试题，再利用初等数学知识来解决问题。

例3.（2013江西高考）已知函数 ， 为常数且 。若 满足 ，但 ，则称 为函数 的二阶周期点。如果 有两个二阶周期点 ，试确定 的取值范围。

【追根寻源】不动点原理是高等数学上一个重要的原理，也叫压缩映像原理或Banach不动点定理。完整的表达：完备的距离空间上，到自身的一个压缩映射存在唯一的不动点.用初等数学可以这么理解：连续映射f的定义域包含值域，则存在一个x使得f（x）=x。

【评析】高等数学中有些内容与中学数学比较靠近，有些概念、结论只要稍作叙述，就能以中学数学的形式出现。就如本题学生只要理解函数f（x）的不动点的定义：不动点是方程f（x）=x的实数根。本题只要将 的实根 求出，再扣除不动点。此题只是在原来常见的求不动点的题型的基础上稍微进行了变化。

【说明】格朗日中值定理、闭区间上连续函数的介值性定理、根据同构观点利用“关系映射反演原则”对数学问题进行等价变换和求解、利用射影变换、仿射变换方法构造几何题都常为此类试题的源泉。

4.以中学数学概念、知识的延伸来设计试题。

高等数学所涉及的知识点要比初等数学所涉及的多（而且深），大学的许多内容是在中学知识的基础上进行引伸、推广的。所以可以中学数学概念、知识的延伸来设计试题，而此内容正是高等数学研究的范畴，此类题能较好地达到考查学生进一步学习数学的能力。

5.以高等数学的思想为背景设计试题

数学思想是数学知识在更高层次上的抽象和概括，高等数学中重要的数学思想有函数的思想、极限的思想、连续的思想、导数的思想、微分的思想、积分的思想、级数的思想等等。此类试题体现高等数学中常用的数学思想方法和推理方法。

例4（2010福建高考）对于具有相同定义域 的函数 和 ，若存在函数 （ 为常数），对任给的正数 ，存在相应的 ，使得当 且 时，总有 则称直线 为曲线 与 的“分渐近线”。给出定义域均为D= 的四组函数如下：

① ， ；② ， ；

③ ， ；④ ， 。

其中，曲线 与 存在“分渐近线”的是（C）

A.①④ B.②③ C.②④ D.③④

【解析】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是 时， 进行做答。

【说明】初等数学和高等数学的数学思想存在着直与曲、常与变、有限与无限、间断与连续等统一的一面。所以试题的命制还可以以此为着眼点。

对于高观点下的数学试题，绝不是要求教师提前教高等数学知识，解决这个问题的关键是如何进行转换和过渡，这就要求教师高屋建瓴地处理数学教材，教学生如何进行知识的正迁移，建构出熟悉和谐的知识体系和问题背景。