初中数学常用的定理精品(七篇)

序论：写作是一种深度的自我表达。它要求我们深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隐藏在内心深处的真相，好投稿为您带来了七篇初中数学常用的定理范文，愿它们成为您写作过程中的灵感催化剂，助力您的创作。

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【关键词】初高中数学教学 衔接 研究

一、探究初高中数学教学衔接背景

（一）初高中数学教学内容上有很强的延续性，初中数学是高中数学学习的基础，高中数学是建立在初中数学基础上的延续与发展，在教学内容上、思想方法上，均密切相关。没有初中数学扎实的基础，学生将无法适应高中阶段的数学学习。因此，从教学内容、数学思想方法上，理顺初高中数学之间的关系，进而在初中阶段强化初高中衔接点的教学，为学生进一步深造打下基础，是初中数学教学必须研究的重要课题。

（二）初高中数学教学衔接研究，主要从初高中数学教学内容、基本的数学思想方法、中考数学的导向性作用，新课程标准对数学教学的要求，高中数学教学对初中数学教学的要求等方面进行综合性研究，试图找出初高中数学教学衔接的相关关键点，从而为初中数学教学提出有用的建议，对初中数学教学为适应学生高中数学学习进行有效地定位。

二、研究目的与意义

（一）找出初高中数学教学衔接的相关关键点，从而为初中数学教学提出有用的建议，对初中数学教学为适应学生高中数学学习进行有效地定位。

（二）从教学内容、数学思想方法上，理顺初高中数学之间的关系，进而在初中阶段强化初高中衔接点的教学，为学生进一步深造打下基础。

（三）为学生有效适应高中阶段的数学学习打好基础，提高教师对新课程理念以及学科课程目标的全面、深刻地理解；

（四）为初中数学教学设置一个知识上限，研究对象为初中数学教学内容的深度与广度。为学生进入高中后能有效适应高中的数学学习。

三、研究内容

（一）初、高中数学课程教学衔接内容的教学要求：

与以前知识、高中教师原有认知相比认为存在但初中已删除需衔接的内容

1.常用乘法公式与因式分解方法：立方和公式、立方差公式、两数和立方公式、两数差立方公式、三个数的和的平方公式，推导及应用（正用和逆用），熟练掌握十字相乘法、简单的分组分解法，高次多项式分解（竖式除法）

2.分类讨论：含字母的绝对值，分段解题与参数讨论，含字母的一元一次不等式

3.二次根式：二次根式、最简二次根式、同类根式的概念与运用，根式的化简与运算

4.代数式运算与变形：分子（母）有理化，多项式的除法（竖式除法），分式拆分，分式乘方

5.方程与方程组：简单的无理方程，可化为一元二次方程的分式方程，含绝对值的方程，含有字母的方程，双二次方程，多元一次方程组，二元二次方程组，一元二次方程根的判别式与韦达定理，巩固换元法

6.一次分式函数：在反比例函数的基础上，结合初中所学知识（如：平移和中心对称）来定性作图研究分式函数的图象和性质，巩固和深化数形结合能力

7.三个“二次”：熟练掌握配方法，掌握图象顶点和对称轴公式的记忆和推导，熟练掌握用待定系数法求二次函数的解析式，用根的判别式研究函数的图象与性质，利用数形结合解决简单的一元二次不等式

8.平行与相似：介绍平行的传递性，平行线等分线段定理，梯形中位线，合比定理，等比定理，介绍预备定理的概念，有关简单的相似命题的证明，截三角形两边或延长线的直线平行于第三边的判定定理

9.直角三角形中的计算和证明：补充射影的概念和射影定理，巩固用特殊直角三角形的三边的比来计算三角函数值，识记特殊角的三角函数值，补充简单的三角恒等式证明，三角函数中的同角三角函数的基本关系式

10.图形：补充三角形面积公式（两边夹角、三边）和平行四边形面积公式，正多边形中有关边长、边心距等计算公式，简单的等积变换，三角形四心的有关概念和性质，中点公式，内角平分线定理，平行四边形的对角线和边长间的关系

11.圆：圆的有关定理：垂经定理及逆定理，弦切角定理，相交弦定理，切割弦定理，两圆连心线性质定理，两圆公切线性质定理；相切作图，简单的有关圆命题证明，介绍四点共圆的概念及圆内接四边形的性质，巩固圆的性质，介绍圆切角、圆内角、圆外角的概念，等分圆周，三角形的内切圆，轨迹定义

12.其它：介绍锥度、斜角的概念，空间直线、平面的位置关系，画频数分布直方图

（二）数学思想方法在初高中数学教学衔接中运用。高中数学教学中要突出四大能力，即运算能力，空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题解决问题的能力。要渗透四大数学思想方法，即数形结合，函数与方程，等价与变换，划分与讨论，这些思想方法在高中教学中充分反映出来。在初中数学教学中教师有意识的培养学生的数学思想方法，以适应高中教师在授课时内容容量大，从概念的发生发展、理解、灵活运用及蕴含其中的数学思想和方法，注重理解和举一反三、知识和能力并重的要求。

四、实施初高中教学衔接具体做法

初高中教学衔接研究方法宜采取初、高中一线教师合作研究方式，对初、高中数学教学内容、数学思想方法、考试导向作全面的比较分析，提出对初中数学适应性学习教学的要求，为初中数学教学指定出适应高中教学的具体目标，从而解决长期以来初高中教学脱节的问题。

（一）实验法：“分组合作教学”，提炼出初中教学衔接的具体内容，时机、内容、有效性合作。

初中参加实验班级每周授课时间设置为5+2模式，即5节课为正常完成教学任务时间，2节课为根据教学进度找到高初中知识衔接点进行实时渗透，引导学生进行自主探究，对课本要求的知识点进行深化理解。

（二）总结法：参与实验教师做教案设计，活动记实，具体教学衔接内容的研究，教学反思等。

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一、调整学习心态，树立新的目标

很多同学经历了辛苦的初三学习，到了高一也许会有想要先松一口气休息休息的想法，于是思想上有所放松.毕竟距离高考还有三年时间，尤其是初三靠拼命补课突击上来的部分同学，还指望“重温旧梦”，这是很危险的想法.高一的数学内容不得懈怠，其中的集合和函数将会贯穿于高中数学的始终，因此，从思想上来讲，应该将高一数学看成是一个新的开始，脚踏实地，为今后三年的学习奠定良好基础.

随着学习的逐步深入，数学成绩的分化是必然现象.也许有的同学初中时候数学作业几乎全对，数学成绩也是接近满分，那么进入高一之后，便很有可能无法接受数学成绩大幅下滑的心理落差，从而倍感压力，甚至变得缺乏信心.我们应当明白，初、高中不同的学习阶段，对数学的要求是不同的，所以摆正学习心态是至关重要的一步.哪怕初中时候自己学习数学相当轻松，但是那绝不代表你也照样可以轻轻松松掌握高中数学的内容.想要学好数学，就必须做好吃苦的准备，看成绩的同时，更应参考自己在班级或是年级的相对位置，明确自身的学习情况，从而为下一阶段的学习树立新的目标，有志者，事竟成.

二、了解教材差异，做好衔接工作

近年来，初中数学的学习内容已作了较大程度的压缩，高一数学相对于初中数学而言，逻辑推理强，抽象程度高，知识难度大.现行高中数学课本（必修本），与初中数学相比，初步分析有其以下显著特点：从直观到抽象；从单一到复杂；从浅显至严谨；从定量到定性.初中数学教材的文字叙述通俗易懂，语法结构简单、运用的数学知识基本上是四则运算.且其公式参量也较少，因此，学生对初中数学并不感到太难.高中数学语言叙述较为严谨、简练，叙述方式较为抽象、概括、理论性较强.对学生的思维能力和方式的要求大大地提高和加宽了.再加之教材从数学的知识体系出发，将最难的部分“函数”放在高一阶段，也就必然会给学生的学习带来困难，造成障碍.

现有初高中数学知识存在以下“脱节”

1.立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用.

2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等.

3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧.

4.初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容.配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法.

5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授.

6.图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握.

7.含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中这部分内容视为重难点.方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题.

8.几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及.

因此，作为新高一学生，应当充分利用初三暑假这个假期，有意识、有目标、有条理地对这些需要衔接的知识点做好初步了解工作，并利用网络或是查阅相关书籍，梳理初中所学过的数学知识，有针对性地将其中部分内容加以深化，从而为高中数学的学习打下良好基础.

三、转变学习方法，培养良好习惯

在初中，由于内容少，课容量小，进度慢，对重难点内容均有充足时间反复强调，对各类习题的解法，教师有时间进行举例示范，学生也有足够时间进行巩固.而高中数学课堂内容容量大，教师在授课时要求从概念的发生发展、理解、灵活运用及蕴含其中的数学思想和方法，注重理解和举一反三、知识和能力并重.作为学生来讲，他们已习惯于初中时候被动的学习方法，缺乏自我安排时间和自学的能力，对老师的依赖性过强.因此，转变学习方法变得格外重要.

把握课堂上的每一次提问，抓住上课时候的每一分钟，提高听课的效率，这是转变的第一步.在透彻理解书本上和课堂上老师补充的内容之后，对有关问题进行反复思考，再三研究，在理解的基础上举一反三，并适时向老师请教.由于高中数学学习进度较快，因此，作为学生，应当利用课余时间将老师补充的内容适当记下来，课后最好把当天所学的内容消化后再做作业，不能一边做题一边查看笔记或是公式.对于每一节内容的知识点，要做到心中有数.

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关键词：初中数学；三个特点；四点要求

中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2013）05-0163-01

初中数学学习是学生学习的一个组成部分，显然，它具有学生学习的一般任务和特点。但是由于数学的对象、内容和方法具有高度抽象性、逻辑严谨性，应用广泛性的特点，它在学生学习中占有特别重要的地位和作用。数学知识和数学方法是学习其它学科，特别是理科的必要基础和工具。因此，初中数学的学习任务和学习方法都有其特点。

初中数学学习的主要任务是：（1）学好数学基础知识和技能，包括初中数学中的数学概念、公式、定理、方法、数学语言等的理解和运用；（2）掌握数学思想方法，提高抽象思维能力，逻辑思维能力，空间想象力，独立获取数学知识的能力，使用数学工具和仪器的能力和数学解题能力；（3）形成辩证唯物主义的观点，提高学习数学的兴趣，养成刻苦钻研，善于思考的学习习惯。

1.初中数学学习的三个特点

1.1数学学习是一种比较抽象的、积极的智力活动。由于数学内容是在人们对现实的空间形式和量的关系的感性认识基础上，经过多级抽象概括，甚至把它们理想化、纯粹化、形式化成为表面上好像与客观实际完全无关的符号和图形。它们都是不能单纯用感觉器官去觉察的，必须通过思维才能理解。另外，初中数学内容是采用公理法思想运用逻辑方法来论述的。学生掌握数学概念、公式、定理和方法时，必须通过他们自己去观察、比较、抽象、概括、分析、综合、归纳、演解、推理、判断、想象等一系列的复杂的思维活动过程。因此，数学学习特别需要运用抽象逻辑思维能力和空间想象力。反过来，如果学习数学时，对数学知识能够做到知道、理解、会用、系统化、沟通综合、迁移、推广、创新，必然在掌握数学知识技能的同时，有利于提高学生数学思维能力，发展智力。有人把数学学习譬喻为"思维的体操"就是反映数学学习的智力活动。

1.2数学学习发展规律与数学历史发展过程相类似。从初中数学的对象来看，初中数学内容的安排，基本上与数学历史发展过程相类似。先学习初等数学中的算术、代数、几何知识，主要是常量数学的内容，接着学习函数（主要是初等函数），解析几何，微积分的知识，主要是变量数学的内容。初中学习常量数学时，所运用的思想方法主要是形式逻辑的基本规律（同一律、矛盾律、排中律、充足理由律）和思维形式。可是，学生学习变量的内容必须运用运动、变化、发展、对立统一等辩证观点去考察数学对象。因此，教学思想方法从形式逻辑的思维形式发展到辩证逻辑的思维形式是数学思维发展的一个转折点，对初中生学习来说，也是一个重要的关头。

1.3数学学习具有广泛联系的特点。我们知道，数学对象普遍存在，数学概念、公式、定理、方法总是表现于非常抽象的形式，但是它们都有客观的基础和现实的来源，它们都反映丰富的具体的实际内容。特别是初中数学许多内容与客观实际的事物形象和数量关系有直接的联系，许多数学概念和方法都有各式各样的具体的现实模型。数学方法的应用已经深入到人们生活、社会、生产以及各个学科的领域。数学与学生学习的各门科学知识都有直接的或者间接的联系，特别与自然科学的学习有密切的关系，数学思想方法又可以迁移到其它学科的学习。因此，数学学习要广泛的联系学生生活实际，数学知识的实际应用，特别要广泛联系其它学科的学习，所以，数学学习具有广泛联系的特点。

2.初中数学学习的四点要求

2.1学习数学要充分发挥主观能动性。数学学习既然是一种比较抽象的积极的智力活动，在数学学习过程中，不仅要学好数学基础知识的基本技能，更要锻炼数学思维能力。因此，学习数学必须积极主动、刻苦钻研，充分发挥学习的主观能动性，才能进行积极的智力活动，顺利地完成学习数学的任务。

2.2学习数学要积极思考，善于思考。数学学习既然是一种"思维体操"，在学习过程中必须加强数学思维的训练。现代数学教育学把数学学习理解为"数学活动"，亦即把数学学习看作数学思维结构的形成和发展过程。因此，数学学习必须要学习者积极思考，还要灵活、正确地运用数学思想方法做到善于思考，才能达到学好数学基础知识并提高数学思维能力的目的。显然，在数学教学中，赶进度、题海战术、死记硬背、被动应付的学习方法都是影响积极思考的不利因素。

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关键字：电子白板 初中数学 应用

【分类号】G633.6

电子白板教学是新课程教学改革所倡导的一种教学方式，在不断的教学实践和运用中，电子白板以其自身所具有的技术优势，获得了越来越多老师和学生的认可。现行电子白板已经成为初中课堂常用的一种教学方式，借助于电子白板信息技术，有利于教师创建形象生动的教学环境，丰富教学资源，扩充课容量的同时，保障学生教学主体的地位，激发学生数学学习的欲望和兴趣。笔者结合电子白板的教学价值作用，从设计情境，做好教学准备工作；突出学生主体地位，开展互动教学活动；化抽象为具体，突破数学教学难点三个方面，对电子白板在初中数学课堂教学中的应用提出了几点思考。

1电子白板在初中数学教学中的作用分析

1.1屏幕批注功能，及时反馈学生学习情况

在初中数学课堂教学过程中，交互式电子白板强大的屏幕批注功能能够使教师在讲解的过程中，同时对相关问题进行及时有效的注解、批注，使学生更直观地看到知识的讲解过程。教师通过批注功能对相关知识进行批注，通过下划线、画圈、加重点符号等方式，使重点问题更加突出，便于教师随时了解学生的知识掌握情况，及时发现学生存在的问题，并进行及时的辅导。同时，交互式电子白板的屏幕批注功能还能创造一种互动的学习环境，它能有效地实现师生之间的互动、生生之间的互动，营造一种生动活泼的课堂环境，实现学生的自主学习，调动学生学习的积极性、主动性。

1.2激活学生思维，培养学生创新意识

初中数学教学的一个重要目标在于培养学生养成良好的思维能力，使学生在数学学习的过程中形成良好的思维能力，形成良好的空间想象能力，培养学生的创新意识和创新能力。而交互式电子白板的隐藏功能即可有效的引导学生开展探究性的思维活动，发展和提升学生的思维想象力。比如，教师在讲解相关的数学定理、数学公式、试题的时候，可以实现使用电子白板的隐藏功能，隐藏部分要讲解的内容，给学生留有思考的空间和余地，尤其是在讲授几何内容时，可以实现讲一些辅助线进行隐藏，经过学生的认真思考之后进行相关的展示，这样，既能激活了学生的思维，同时也能更好的使学生深入思考问题，实现对问题深层次的理解和掌握。

2电子白板应用到初中数学课堂教学中的有效措施

2.1设计情境，做好教学准备工作

初中数学的学习对学生而言难度系数较高，特别是复杂的数学概念因此，教师在开展教学活动时，可以充分借助电子白板的作用为学生设计出真实的学习情境，通过向学生展现生动形象、活泼有趣的图像，来培养学生的数学思维能力，激发学生学习的积极性，促进学生更好的理解初中数学的概念部分，切实提高教训课堂的效率。

例如，在进行“勾股定理”的学习时，传统的教学课堂是由教师直接在黑板上板书，口头向学生解释该定理的含义。而电子白板技术的应用，可以为学生提供一个真实的我情境，实现人机的互动，从而充分的调动学生学习的积极性，促进学生认识到数学概念的本质含义。在初中数学教学课堂开展之前，教师可以根据“先教后学”的教学原则，合理的布置课前作业，要求学生在自学本节课的基础之上完成学习任务。不仅如此，在开展正式的教学活动时，教师可以要求学生通过电子白板写出“勾股定理”的关系式，还可以组织小组讨论活动，引导学生就“勾股定理”如何得出的这一问题进行讨论研究，推动学生自主进行学习，向学生灌输正确的数学概念，切实提高初中数学教学课堂的质量。

2.2突出学生主体地位，开展互动教学活动

由于电子白板技术使用起来十分方便，极易于学生掌握，这为初中数学教学课堂的开展提供了便捷教师可以通过电子白板设计出相关的教学环节，鼓励学生走上讲台，直接与电子白板进行互动，教师只从旁进行指导，充分体现出学生的主体地位，让电子白板成为教师与学生、学生与学生之间互动的桥梁，开展有效的互动教学活动。

与此同时，通过电子白板能够调用计算机所有程序的特征，能够利用迷你教学软件或教学程序，丰富教学内容，提高课堂的互动性。互联网中包含了大量的初中数学教学程序，诸如一元二次方程的教学程序。教师可以将这些教学程序录入到电子白板中，以此来丰富课堂教学内容。另外，教师还可以通过电子白板自主开发容量较小的教学软件，增强与学生之间互动，切实提高初中数学教学课堂的质量。

2.3化抽象为具体，突破数学教学难点

事实上，在初中数学的教学过程中，很多数学知识都是十分抽象，传统的教学课堂只简单的由教师进行口头论述，或是在黑板上板书，这样的教学方法很难让学生认识到数学知识的具体含义，对学习知识的不理解就导致学生只能靠死记硬背才能掌握数学知识。而交互式电子白板在教学课堂中的应用，能够将抽象的数学知识具体化，为有利于学生充分理解知识的含义，从而有效的突破教学的重难点。

例如，在进行“三角形全等条件”的教学过程中，教师可以充分借助电子白板，向学生展现出三角形全等的动态流程，让学生基本明确了要判断两个三角形全等，至少需要三要素，并且三个元素有一定的位置关系。通过电子白板向学生演示“角边角”三角形全等的过程，让学生学会如何使用“角边角”来进行证明。通过这佯的教学环节，学生很容易就掌握了三角形全等的判断规律，这也是新课标对初中数学教学课堂提出的要求。因此，可以说，电子白板在初中数学教学课堂的使用能够化抽象为具体，帮助学生牢牢把握住学习中的重难点，促进学生更好的初中数学的学习。

参考文献：

[1] 李文兵. 初中数学教学中反思法的巧用[J]. 才智. 2010（18）

[2] 郑琳欣. 浅谈初中数学教学中的自主学习法[J]. 才智. 2010（24）

[3] 黄广泽. 提高初中数学教学质量的几点认识[J]. 基础教育研究. 2010（11）

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掌握数学思想方法的过程为：数学学科基础知识数学思想方法良好的数学认识结构。中学数学知识属于基础知识，除了包括代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理等外，还包括这些内容反映出来的数学思想和方法。义务教育初中数学教材涉及的字母代数、数形结合、集合思想、函数与方程思想、化归思想、配方法、待定系数法等数学思想和方法，在概念的形成过程、定理的论证过程、法则的归纳过程中都体现着这些思想和方法，并受一定数学思想的指导。因此在数学教学中，不能只满足于学生数学知识（概念、法则、公式、定理等）的掌握，更应注意通过对数学基础知识的教学，适时系统地有意识地培养学生的数学思想方法，让学生从“学会”数学到“会学”数学。

一、在概念教学中培养学生的数学思想和方法

数学概念是反映数学对象的本质属性和特征的思维式，它的主要特点是高度的抽象化与应用的普遍化，是数学基础知识的基础，也是数学教学最基本、最重要的一环。

在义务教育初中数学教材中，概念出现的特色以生产、生活中实际模型抽象出它的本质特征。在教学中，应根据其特征把掌握数学知识和掌握数学思想方法同时纳入教学中。如初三代数教材中函数概念引入为：汽车速度36千米/时，行驶的路程S（千米）与行驶的时间t（时）有怎样的关系？这就是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，是函数的初步知识。由于函数概念本身的抽象性，教学时可让学生先根据行驶路程、速度、时间三者之间的基本关系，写出其表达式S=vt，并列表：

把表达式与列表两者有机结合起来。在教师的启发引导下，学生动脑、动手、动口，在活动和过程中领悟到：在一个变化过程中，自变量和因变量之间的相互依赖关系。体验函数形成，并读出函数的定义，了解函数的思想。在初中数学教材数轴内容中蕴含着数形结合的思想方法，即代数和最基本元素――数与几何的最基本元素――点之间的建立对应关系。在教学中应根据初中学生的年龄特征，让学生通过看图后的表层认识可知：全体实数与数轴上所有的点之间是一一对应的，并借助数轴上点之间的相互位置，将较抽象的数与数之间的关系直观、生动、形象地表示出来。在师生共同活动中培养数形结合的思想和方法，让学生认识到数形结合是研究数学问题的一种数学思想和方法。又如初三代数教材中实数的两种分类。第一种分类是分为有理数和无理数。第二种是按大小分类，分为正实数，0，负实数。教学时可让学生参与分类，使学生通过观察发现，这样每次分类是按照同一标准进行的，并且不重不漏。有意识地、有目的地结合两种不同分法，让学生认清各个部分的组成和相互之间的关系，从而渗透分类的数学思想方法，并向学生指出在解决数学问题中的经常运用分类思想。

二、在定理、法则、公式的教学中培养学生的数学思想和方法

数学定理、法则、公式等知识，明显地写在教材中，是有形的。而基本的数学思想和方法不同于其他基础知识，它不能用符号、图形、式子表示，比较抽象。因此在数学定理、法则、公式等知识的传授中，应有意识地将数学思想方法贯穿在整个数学过程之中，随时把握数学思想方法渗透的时机。

初三几何教材中圆周角定理和弦切角定理的证明，展示给学生研究问题常用的分类思想、由特殊到一般、一般到特殊的转化思想。不论是圆周角定理的证明，还是弦切角定理的证明，教材都是先引导学生通过动脑、动手画图，观察明确圆周角（或弦切角）与圆心的位置关系。归纳起来分为三种情况：（1）圆心在角的一边上；（2）圆心在角的内部；（3）圆心在角的外部。证明过程体现了将一般情况转化为特殊情况的转化思想。教师应在定理证明教学中，不失时机地向学生灌输及渗透数学思想方法中的分类思想、转化思想，并使学生逐步掌握这些数学思想方法。

三、在例题教学中培养学生数学思想和方法

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一、转变思想观念，提高师生认识，树立合理猜想的意识

传统的教学思想和形式一直束缚着教师的思想和行为，同样也扼杀了学生合理推理的欲望，因此，要提高学生的合理推理能力，转变思想观念，提高师生认识是前提。

第一步就是要转变教师的思想观念。学校应开展相关的专题演讲或者名师座谈，亦或是组织教师进行校外进修等，来提高教师的思想觉悟和认识。从而让教师从思想上认识到合理推理能力对于学生数学学习以及今后终身发展的深远影响，从行动上，能够积极学习，刻苦钻研教材，多看、多练，提高能力，多问、多学，取长补短，并善于总结各种解决问题的方法。

第二步就是要转变学生的思想认知。合情推理能力是一个人所必备的基本素质，同样，也是每一个学生学习数学必须掌握的基本能力。因此，在初中数学教学中，教师除了要让学生明白合情推理的重要价值，做好思想工作之外，还应从学生的实际发展出发，创设情境，提出问题，让学生通过自己的努力，依靠自己力量，成功地解决实际的数学问题，激发学生的数学兴趣和自信心，从而进一步培养其刻苦钻研的意志和迎难而上的品质，为学生造就进行合理推理的“底气”。

二、恰当创设情境，引导学生观察，避免不着边际的猜测

对学生推理能力的培养，不能单纯地依靠教师一张嘴的说教，而是要以初中数学的某些已知事实素材为基础，选择恰当的材料，创设情境，引导学生去观察和发现。初中教材中的“数与代数”“空间与图形”和“统计与概率”这三个领域的课程内容，为学生合理推理能力的培养提供了丰富的素材，我们教师应善于应用、开发这些素材，来为发展学生推理能力服务。

此外，观察是人们认识客观世界的门户，是一种重要能力，它不仅能够调动观察者的各项感官，而且还能使其在已有知识的基础上进行联想和想象，避免盲目性。因此，除了要创设情境之外，教师还要留给学生必要的时间和空间，让他们去观察，培养观察的习惯和能力，为合力的推理奠定基础。

三、精心设置实验，激发学生思维，挖掘不可低估的能量

实验是检验真理的标准，初中数学中的诸多定理、公式也都是依靠实验、归纳法发现的。因此，恰到好处的设置实验，不仅可以使全员参与，提高学生的参与度，让学生的已有知识指导他们的行为，解决实际面临的问题，拥有学以致用的机会；而且可以激发学生思维，挖掘内在潜力，激发学生的创新意识能力。

四、仔细设计问题，激发学生猜想，激发合情推理的能力

提问是教学过程中最为常用的一种教学手段，数学的教学也不例外。提问除了能够集中学生的注意力之外，还能起到随堂检测、收集反馈信息的作用，学生因为可能会被提问而一直聚精会神，教师则可以通过提问，了解学生的掌握情况，并根据反馈信息及时调整自己的教学方式，提高教学效率。

数学猜想，是数学问题研究过程中的一种合理的推测，是数学证明的前提。在初中数学中，精心的设置数学问题，能够很好地激发学生的求知欲，启迪学生的创造性思维。在这个“提出问题―分析问题―提出猜测―论证说明―解决问题“的过程中，不仅学生的数学知识、思路、方法得到进一步的巩固和提升，而且学生的推理能力也得到了相应的提高。

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【关键词】初中数学；线段的长度；几何计算题；三角形全等；常用的；直角三角形；勾股定理；锐角三角函数；相似三角形

【中图分类号】G633.6

初中数学中学习的是平面几何，平面是由线构成的，线动就成面了，所以线段的长度的变化，影响了图形的大小，形状。

几何图形中的计算题是初中数学中常见题型，一直是数学中考中的必考题型，求线段的长度正是这类计算题中的典型代表.纵观近年来的中考试题，不难发现，这类试题的命制均立足教材，解决途径都是运用转化的思想方法.要求学生自己猜想、探究、发现。我在多年的初中教学中，特别是初三数学教学中，总结了几种常用的求线段的长度的方法。

一、 当一条线段上有多条线段时。

1、利用观察图形的方法，直观地求线段的长度。

当点把一条线段分成几条线段时，可以直观地观察图形，找出已知线段与未知线段的和差的关系，从而求出线段。

例1、 已知如图，线段AB=10，点C在线段AB上，且AC=3，求BC的长。

这题就可以直观地观察图形，找出未知线段BC=已知线段AB-已知线段AC，从而求出。

2、 利用线段中点的定义，求线段的长度。

当有线段中点出现时，可以考虑运用线段中点的定义。把例1变式为点C为线段AB的中点，线段AB=10，求BC的长。

这题可以运用线段中点的定义可以得出BC等于AB的一半，从而求出。

3、 利用数形结合的方法，用列方程的方法求线段的长度。

把例1变式为点C、D为线段AB上的点，把AB分成2：3：5三部分，线段AB=10，求线段AC、CD、DB的长度。

本题通过观察图形，找出线段之间的相等关系，AC+CD+DB=AB，正确设元，设AC=2x，CD=3x， DB=5x. 从而列方程求解。

本类题型，通过观察图形的方法，正确找出已知线段与未知线段的关系，正确求出线段的长度。

二、 当所求线段是三角形的边元素时。

1、 利用直角三角形的性质勾股定理求解。

直角三角形中的一个常用定理--勾股定理，勾股定理是极其重要的定理，它是沟通代数与几何的桥梁，揭示了直角三角形三边之间的数量关系，应用十分广泛. 是用来求线段的长度的基本方法。可以知道直角三角形的任意两边的长度，求第三边的长度。

例2：在RtABC中，∠C=90O ，AB=10，BC=6，求AC的长。

分析：这题已知直角三角形的一条斜边和一条直角边，求另一条直角边，就可以运用勾股定理。

利用勾股定理求线段的长度关键是构健出直角三角形，再找出所求的线段是这个三角形的直角边还是斜边，或者它们的关系，就可以利用勾股定理求出所要求的线段长度。

2、 利用等腰三角形的性质三线合一求解。

等腰三角形是特殊的三角形，比较常见，它有一个重要性质---三线合一，即等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合，这个性质非常常见，经常用来构建直角三角形，从而用勾股定理求线段的长。

如把例2变式为已知ABC中，AC=BC，AB=10，BC=6，求AB边上的高。

分析：这题首先作出等腰三角形底边上的高，构建直角三角形，利用等腰三角形的性质三线合一求出底边的一半，就可以利用勾股定理求出所要求的高。

3、 利用锐角三角函数求解。

也可以用直角三角形的锐角三角函数去求线段的长度。解直角三角形的应用是初中新课标数学教材的主要内容之一，用解直角三角形的知识解决实际问题可以说是学习解直角三角形知识的目的和归宿。通过引导学生构造出直角三角形，然后用直角三角形的知识解决问题，来发展学生应用数学知识分析问题、转化问题、解决问题的意识和能力。因为直角三角形中，知道两个元素，其中至少有一个是边元素时，即可以求这个直角三角形的另外三个未知元素。

例如：北师大九年级下册P13，知识技能第3题。

如图，SO是等腰三角形SAB的高，已知∠ASB=120O，AB=54，求SD的长。

分析：因为三角形SAB是等腰三角形的高，由等腰三角形三线合一的性质得：SD也是底边AB的中线，顶角∠ASB的平分线，从而可得：

AO=AB=×54=27，∠ASO=∠ASB=×120O=60O，则解直角三角形SAO，用cos∠ASO即可求出SO的长。

利用直角三角形的锐角三角函数去求线段的长，关键是正确地找出已知元素，正确地选择三个三角函数中的那个三角函数去解题，从而正确地解决问题。

4、 利用证明结果求解。

有些问题中，需要先根据已知条件证明出某两条线段之间具有相等或倍量关系，而其中一条线段长度是已知条件，故而求出另一条线段长。

如两个三角形全等，对应边相等，把要求的线段转化为与它相等的线段。这种方法适用于要求的线段是一个三角形的边元素，而与之对应的另一个三角形与这个三角形全等，所求的线段刚好是与之所在三角形全等的三角形的对应边，从而可求。如佛山2009年中考试题18题。

如图，在正方形ABCD中，CEDF，若CE=10cm，求DF的长度。

分析：因为通过观察图形可以发现，要求的线段DF是DCF的边元素，已知线段CE是RtCBE的边元素，它们刚好是对应边，用"AAS"能证明这两个三角形全等，从而可以求出DF的长度。

要利用三角形全等的方法求线段的长度，关键是观察图形发现所求的线段和已知线段分别是哪两个三角形的对应边，从而找寻出证明这两个三角形全等的方法即可解决问题。

5、 利用相似三角形求解。

相似三角形具有对应边成比例的性质，当要求的线段刚好是某个三角形的边元素，而刚好能够找出有另一个三角形与之相似，这两个相似三角形中刚好能够找出成比例的线段中有三个已知元素，另一个未知元素刚好是要求的线段，即可用相似三角形对应边成比例，列出等式，从而计算出这条线段的长度。

例如：如图，AB是O的直径，BC是O的切线，D是O上一点，且AD//CO，AB=2，BC=，求AD的长。

分析：所求线段AD是ABD中的边元素，还已知一元素AB，另一已知元素BC是OCB的边元素，又因为AB为O直径。所以可知第一边OB=AB=×2=1，∠ADB=90O。BC是O的切线，也可知道∠OBC=90O，由勾股定理即可以求出OC的长度。通过AD//OC，可得∠A=∠COB，即可以证得ABD∽OCB，从而推导出，这个等式中只有一个未知量AD，即可以求出。

利用相似三角形对应边成比例是求线段长度的常见方法，关键是找出所求线段和已知线段是哪两个三角形的边元素，再找寻出证明这两个三角形相似的方法，问题即可以解决。

6、 利用列方程求解

有相当一部分题目，我们没办法直接求出答案，尽管由已知条件可以求出一系列可求的量，但包括未知线段在内仍有两条以上的线段无法求出，这时应去寻找线段之间的关系，这些关系往往由勾股定理、相似三角形的比例式、三角函数等得到的等式，接下来设出未知数，问题也就解决了。

例如，北师大九年级下册P99的例1.

如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600m，E为弧CD上一点，且OEEF，垂足为F，EF=900m，求这段弯路的半径。

这题要求的半径OC就是RtOCF的边元素，但OF也是未知数，但它可用含半径的代数式表示。即设OC=Rm，则OF=（R-90）m

由勾股定理得：OC2=OF2+CF2，而R2=（R-90） 2+（）