数学思维的主要类型精品(七篇)

序论：写作是一种深度的自我表达。它要求我们深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隐藏在内心深处的真相，好投稿为您带来了七篇数学思维的主要类型范文，愿它们成为您写作过程中的灵感催化剂，助力您的创作。

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关键词：思维类型；思维方法；原则

中图分类号：G640 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）03-0113-02

“思维类型”是一个通用概念，大量学者都对其进行了研究。事实上，明确区分思维的类型对教育来说具有重要的实际意义。为了更好地指导大学生的学习，增强他们的创新能力，本文从新的角度对思维类型进行分类，从四种思维类型出发给出学生的学习方法，特别对数学思维方法展开讨论，最后再给出创造性思维的彻底性原则。

一、思维类型及其对教育方法的启发

一般来说人们思维分为下述四种类型：接受快且深刻，接受快但肤浅，接受慢但深刻，接受慢且肤浅。当然最好的是接受快且深刻这种类型，这种类型的人往往自小就表现出天才模样，他们大都被称为是神童。可惜的是，他们在赞扬声中成长，很容易养成骄傲情绪，久而久之他们就不习惯于“艰苦研究”，最后变成平庸之人。王安石的《伤仲永》写的就是这种情况。所以对第一种类型的学生，我们对他们的爱护首先就是不要多表扬他们（例如各地过分吹捧高考状元是不明智的做法），其次对他们要多加督促，让他们养成艰苦学习习惯。列宁小时候聪明异常，他往往很快就完成作业，然后就嬉闹不止。他的父母很担心，怕他今后不会踏实学习，除了教育他以外，还时刻注意他。有一次列宁看到他的妹妹坐在钢琴边，不停地弹奏一首乐曲，花了许多小时，才把它弹得正确。为此列宁感悟道：做任何事情，没有坚毅品质是不行的。列宁的父母知道这件事后才放心，他们知道列宁已经懂得养成勤劳习惯的重要性。第二种类型（接受快但肤浅）的人，他们平常的表现最容易使人迷惑：许多复杂的问题他们一听就懂，可是他们自己做起来却经常出错。他们的家长和老师都误认为这是由于“粗心”造成的，除了告诫他们要细心以外，家长、老师（甚至他们自己）对这种现象都不在意。举一个例子，初中学生刚学习有理数时，写负数时往往会遗漏负号，当你向他指出时，他立刻就知道是自己错了。人们大都认为这是粗心的原因，殊不知是他在他的意识里还没有真正接受负数这个概念，也就是说他虽然接受了负数概念（也许很快就接受了）但是却很“肤浅”，他的潜意识里并没有它的“真正”位置。因为引导学生思想深化是一件困难的工作，所以对于接受快但肤浅的学生，我们也许更应该留心。除了教育他们不要骄傲（这是由于他们接受快而造成的错误）以外，还要训练他们的思维，让他们养成深思的习惯。（顺便提一下，怎样培养学生养成深思习惯，如同怎样提高学生的写作能力一样，至今都尚未找到特别行之有效的办法）第三种类型，即接受慢而深刻，在某种意义上它才是最好的一种类型。领会深本是探索一切知识的必要因素，可是他具有这种优越品质而不觉，有时他还为自己接受慢而苦恼，这样他对学业从不掉以轻心，为了克服自己接受慢的缺点，他总是“笨鸟先飞”，这样在漫长的学习生涯中，他养成一种坚忍不拔的品质，这又是一个获得成功的必要条件。第三种类型的人“天然”地具备了成功的两个最重要的因素，所以大部分在学术上有成就的人都来自于他们。据说牛顿、爱因斯坦小时候都很“笨”，倘若真是这样，这便是上面论述最好佐证。另外的例子是真人真事，20世纪伟大的数学家吉伯特（1862—1943），他接受新的思想很慢，但一经接受，在运用和进一步发展这些思想上，就没有人能和他比拟了。至于第四种类型的人，虽然他们在学业上很费力，但他们的成功机率并不比第一、二种类型的人要少，甚至还要大于第二种类型的人。这种人只要不放弃努力，那么在他艰难的学习过程中，自然会养成一种深刻钻研的禀性，此是“勤能补拙”之谓也，这正是一切在学术上获得成就的人所要必备的主要品质。明末清初的一位历史学家谈迁，小时候很愚笨，记性差、反应慢，他对自己所读的书籍很难弄懂，他很苦恼，不过他锲而不舍，经常读书到深夜，由于长期的努力，他终于大彻大悟，从此他便突飞猛进，成为那个时代最有学问的人之一。金庸小说《射雕英雄传》里的郭靖大概就是这种类型人的最好写照。总之，无论是哪种类型都有成功希望，只不过有的开始要多费点力气而已。“聪明”并不是人成功的不可缺少的条件，最重要的是人的刻苦和坚忍，而且随着人们的成长，差的类型在不断刻苦努力下，也会迅速朝着最好类型转化，李白说“天生我材必有用”，是千真万确的。

二、数学思维方法和数学学习方法

在一切学科中，数学是一门最重要而且最奇怪的学科。它研究的问题似乎虚无飘渺，并不接触现实世界，但却有莫名其妙的大功效。麦克斯韦尔认为，研究问题时首先要引入数学概念，以他的名字命名的著名方程就是以这种方法推导出来的。狄拉克也认为，应该遵循数学方向前进，因为“正电子”也满足以他的名字命名的方程，所以他预言“反物质”正电子的存在，几十年后人们果然在宇宙射线里发现了它。也许最值得一提的是，陈省身的“纤维丛”几何学理论，竟然可以平行移动到杨振林的“规范场”物理理论里，对此杨振林感叹地说：数学家研究数学问题时，根本没有考虑到物理世界，而却能深刻地阐述世界，这真令人惊叹。如今关于物质粒子最新研究的“弦理论”也和数学家丘成桐的微分几何成就有密切关联。计算机科学和数学理论的关系同样也非常密切。就连过去一向被认为是最难找到实际用途的数论也在计算机科学里发挥着重要作用，例如大整数质因数分解定理丰富了密码学方法：RSA公钥系统，根据大整数的分解，它采用“公钥”和“私钥”技术。[1]由此可见，在数学上花费时间是值得的。一般人并不喜欢数学，他们或者认为数学枯燥无味，或者认为数学深奥难懂。在人们心目中，数学里只有推理，没有猜测；只有逻辑，没有艺术；只有抽象，没有直观；只有理性，没有想象。人们感到数学的结果是一步一步推出来的，没有过人的聪慧是不行的。然而，幸亏事实并非如此，否则我们的数学就不会兴旺到如它目前所示，它早就不会吸引任何一个有智慧的人。其实数学是一门融合了人类一切认识世界方法的学科，只是在它整理自己的知识时，才采取了“定义”、“定理”和“证明”严格方式，这是为了保证它的结论准确无误所致。但是这并未妨碍人们用其他方式获得数学知识，其实最伟大的数学家在他们思考问题时，都是凭借直观（甚至是最粗糙的直观）前进的，特别是当他们在做划时代事业时，更依赖直觉，甚至有时连逻辑也不顾。这在牛顿和莱布尼兹创立微积分时特别明显。本段叙述直接来自于文献[2]。明白了上面道理，我们建议：要在感性上下功夫，要理解数学精神实质，即要有数学质感。对数学的学习要运用人类一切认知手段，即实验、猜测、直观推理、试错法、合情推理和正统的逻辑推理；对于基本知识要有透彻了解，基本技能要熟练掌握。对于较难或者很难的题目，应该努力解决它，真正解决不了，也不要气馁，可以暂时放下，“历史总是带着问题前进的”；对一门数学学科，如果你感到对它的任何一个习题，只要有时间你就可能会做出，即使不会做，但对别人做出的看一眼就会，那么这门学科你就基本过关了，没有必要搞题海战术，这是我国著名物理学家严济慈的观点。

三、彻底性原则

创造性思维最显著的特征就是彻底性。欧氏几何里有一条平行公理：“在平面内过直线外一点，能且只能引一条直线和它平行”。但在欧几里德的《几何原本》里，很迟才引入平行公设，且叙述很啰唆，并不像上述的那样简练。后人怀疑欧几里德并不想把它作为公理，只是“证不了它”，才不得不把它作为一条公设采用。后来的数学家们跃跃欲试，用各种方法试图证明它，就这样证明了一千多年。不少人采用“反证法”，得出许多奇特结果，可惜他们认为“荒谬”，就匆忙下结论说，他们发现了矛盾从而证实了平行公设。只有高斯、鲍利埃、罗巴切夫斯基和旧观念，即认为“欧氏公理体系是唯一正确的”，彻底决裂，他们发现了非欧几何。高斯惧怕旧观念势力，鲍利埃患得患失，他们都没有发表他们的工作，只有罗巴切夫斯基勇敢地发表了他的成果。[3]同样，爱因斯坦相对论和量子力学也都是彻底摒弃旧有观念的好例子。旧有观念根植于人的潜意识里，人们很难发现它，更难突破它。诚如一位物理学家说，他花了好几年工夫才真正弄懂相对论，不是由于他知识的缺陷，而是由于他头脑里的固有观念妨碍了他的理解。他的话有助于我们理解突破旧观念时，坚持彻底性原则的重要性。只要是创造性工作，哪怕是很小的创新，实质上都是在突破我们潜意识里某个旧有观念。希望有所创造的人，对此不可不察。

对思维类型做深入的反思和研究，可以及早发现学生的思维特点，进而就可以给予学生有效的指导和引导，并且我们还要鼓励学生创造性思维，努力攀登科学的顶峰。

参考文献：

[1]Michael Sipser.计算理论导引[M].张立昂，黄雄，译.北京：机械工业出版社，2000.

[2]王健吾.数学思维方法引论[M].合肥：安徽教育出版社，1996.

[3]斯科特.数学史[M].侯德润，张兰，译.桂林：广西师范大学出版社，2002.

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关键词：数学教学；思维训练

数学教育要给予每个人在未来生活中最有用的东西。因此，我们在数学教学中不能把目光停留在数学知识的讲解和解题方法的运用上，而应以它们为载体，加强对学生思维能力的训练。

现代教学论认为，数学教学是数学思维活动的教学。数学教学培养的是学生的思维习惯和思维品质，是数学思维教育素质化的重要内容。思维培养的成功与否将直接影响数学教学质量的提高，影响着中学数学教育改革的深化与发展。

数学思维是人脑和数学对象(空间形式与数量关系)互相作用并按一定规律产生和发展的。数学思维的种类有很多，从具体形象思维到抽象逻辑思维，从直觉思维到辨证思维，从正向思维到逆向思维，从集中思维到发散思维，从再现性思维到创造性思维，从中体现出了多种多样的思维品质。如思维的深刻性、逻辑性、广阔性、灵活性、创造性、发散性等。我认为，高中数学教学中主要应通过对学生思维品质的培养达到提高思维能力的目的，具体体现在以下几个方面：

一、注重对基础知识、基本概念的教学

高一学生，从初中数学到高中数学将经历一个和很大的跨度，主要表现在知识内容方面的衔接不自然，对高中数学抽象的数学概念、数学形式极不适应。比如第一册第一章的集合与简易逻辑，表面上看似很简单，而实际运用中却不能准确把握那些用集合语言所描述的题目含义。再如第二章函数，这是高中数学中的重点内容，教师会花很大的精力去讲授，学生会都会下很大力气来做题，结果却不如人意。学生做题时主要是在解具体题目时很难与基本概念联系起来。如经常遇到的二次函数问题，有时是求值域，有时是解方程或不等式，学生感到茫然。我把它们统一在一起，强调二次项系数对称轴、判别式等几个因素，帮助学生克服了思维的无序性。这一章内容是思维方法从直观到抽象、从离散到凝聚的过渡，是训练学生思维深刻性和广阔性的重要阶段。

二、加强数学思想方法的渗透

高中数学的四大数学思想和十几种数学方法是教学的关键与灵魂。一是解题的方法。为培养学生的应用意识，提高学生分析问题解决问题的能力，教学中应结合具体问题，教给学生解答的基本方法、步骤。二是数学思想方法。思想方法把不同章节、不同类型的数学问题统一了起来，如数形结合思想培养了思维的形象性、创造性，化归思想提高了学生的灵活性、辨证性等。如换元法是一种常见的变形手段，它不只限于解某一章或某一类的问题。注重对这些思想方法的渗透，可以提高学生归纳总结及联想能力，将数学知识和方法的理解提高到一个新的阶段，这对思维品质的培养十分有益。

三、挖掘数学例题习题的功能

在高三总复习时，教师往往注意培养学生的综合能力，注重一题多解，一题多问的形式练习，向学生讲解大量的习题与解题方法。但学生常常是被动接受，教师给的越多，思维越混乱，结果适得其反。这一时期，教师除了精选习题，重点讲解之外，更要在讲授方法上有所创新。在讲解习题时应注重以下原则：

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【关键词】小学数学；应用题；教学；教师

一、强化基础训练，掌握数量关系

基本的数量关系是指加、减、乘、除法的基本应用，比如：求两个数量相差多少，用减法解答；求一个数是另一个数的百分之几，用除法解答；求一个数的几倍是多少，用乘法解答等。任何一道复合应用题都是由几道有联系的一步应用题组合而成的。因此，基本的数量关系是解答应用题的基础。在复习时，我特意安排了一些补充条件的问题和练习，目的是强化学生的基础知识。使学生看到问题立刻想到解决问题所必需的两个条件；看到两个条件能迅速想到可以解决什么问题。在此基础上再出些有助于训练发散性思维的练习题。如给出两个条件：甲数是10，乙数是8，要求学生尽可能地多提出些问题。练习时，先要求学生提出用一步解答的问题，如“甲数比乙数多多少”、“乙数比甲数少多少”、“乙数占甲数的几分之几”等。然后再要求学生提出用两步解答的问题，如“甲数比乙数多几分之几”、“乙数比甲数少几分之几”、“乙数占两数和的几分之几”等。对于常用的数量关系，复习时我还采用给名称让学生编题的练习形式。如已知渭酆妥芗郏编求数量的题目；已知路程和时间，编求速度的题目等。通过这种形式的训练，使学生进一步牢固掌握基本的数量关系。为解答较复杂的应用题打下良好基础。在编题训练的过程中，还要注意指导学生对数学术语的准确理解和运用。只有准确理解，才能正确运用。如增加、增加到、增加了，提高、提高到、提高了，扩大，缩小等。发现错误，及时纠正。对易混的术语，如减少了和减少到等要让学生区别清楚。

二、综合运用知识，拓宽解题思路

能够正确解答应用题，是学生能综合运用所学知识的具体表现。应用题的解答一般采用综合法和分析法。我们在复习时侧重教给分析法。例如：李师傅计划做820个零件，已经做了4天，平均每天做50个，其余的6天做完，平均每天要做多少个？分析方法是从问题入手，寻找解决问题的条件。即：①要求平均每天做多少个，必须知道余下的个数和工作的天数（6天）这两个条件。②要求余下多少个，就要知道计划生产多少个（820个）和已经生产了多少个。③要求已经生产了多少个，需要知道已经做的天数（4天）和平均每天做的个数（50个）。在复习过程中，我注重要求学生把分析思考的过程用语言表述出来。学生能说清楚，就证明他的思维是理顺的。既要重视学生的计算结果，更要重视学生表述的分析过程。

三、系统整理归纳，形成知识网络

在应用题复习中，一题多解是沟通知识之间内在联系的一种行之有效的练习形式。它不但有助于学生牢固地掌握数量关系，而且可以开阔解题思路，提高学生多角度地分析问题的能力。例如：一个修路队，原计划每天修80米，实际每天比原计划多修20%，结果用12.5天就完成任务。原计划多少天完成任务？可有下列解法：①80×（1+20%）×12.5÷8=15（天）②12.5×（1+20%）=15（天）③设计划用x天完成。80x=80×（1+20%）×12.5x=15④设原计划用x天完成。80∶80×（1+20%）=12.5∶xx=15

四、进行同类题型归类，并有针对性的进行训练

小学的数学应用题可以分为若干种类型，比如鸡兔同笼问题等。如果教师能够对这些应用题进行同一类型的归类，并针对一个类型进行反复的习题训练，那么学生就会对此类型题有一个全面深刻的认知。当然我们这里所说的有针对性的训练并不等于题海战术，题海战术主要指对学生进行习题的量的训练，使得学生形成思维定式，从而提高答题的正确率，这种教法不能够适应目前的素质教育，相反学生在反复的练习中会失去对学习的兴趣，最终出现逆反心理，教育就会事倍功半。而同类型题的归类，则是让学生对同一类型数学应用题形成了一个全面系统的认识。小学生的理解能力比较低，教师适当的进行同类题型的归类，既有助于学生解决数学应用题，同时也有利于培养学生的归类思想。有助于以后的各科学习。

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DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.30.081

一、引言

应用题在小学数学教学和学习中，占有十分重要的地位，同时它也是培养和提升学生运用数学知识来分析问题和借鉴问题的重要途径。因此，在小学数学的教学实践中，应用题的比重也在不断增加。题目的新颖度、实用性和知识的应用性都在不断提升。但是万变不离其宗，其教学和解题思路还是有着严格的规律，在教学中要培养学生分析应用题和解答应用题的能力。应用题的解答不仅需要学生对课本的基础知识有熟练的把握和应用，还要求学生有着相应的分析、判断和推理的能力。这些数学思维和能力是需要按照一定的思路和策略进行培养的，本文对这一系列方法进行了总结，按照审题、解题、答题的思路进行了相应的阐述。

二、数学应用题教学思路探究

（一）精准锁定题目类型

要想进行应用题的解答，首先要确定题目的类型，并根据题目的类型锁定相应的知识点。在苏教版小学数学的教材中，应用题的题型非常多，既有图文结合的，又有对话式的还有表格式的，而且应用题的信息量普遍比较大，有时候在综合考核中甚至包含几道应用题。因此，在解题上必须要会审题，要锁定题目的类型。尤其是对低年级的学生而言，审题就显得尤为重要了。要从题目的大意中判断题目的考查点，小学应用题的类型非常多，有行程类的、有工程类的、销售类的，还有几何问题的，面积类的、周长类的等等。当然根据知识点分类也可以分为多种类型，单位一的问题、百分数的问题等等。当然，类别非常多，需要的知识点也非常多。尤其是数学广角问题中所蕴涵的数学应用题的知识点更是非常多，学生必须会根据题目中的语言进行应用题类型的归纳，这是应用题解题的第一步。

（二）有效分析关键句

大致分析并确定了题目所归属的类型才能更好地展开思考，根据知识点和相关例题去分析题目中的关键句，从关键句中提炼出有效的数学语言。

例如，妈妈买了3千克桔子和4千克苹果，共花了23.4元。每千克苹果的价钱是桔子的1.5倍。每千克苹果和桔子各多少元？

上面这道题明显是属于单价、数量和总价的问题类别，属于求单价的问题，这道题中的关键句就是3千克橘子和4千克苹果共花了23.4元，其中苹果的单价是橘子的1.5倍。我们可以根据方程中，是谁的设谁为未知数的原则设橘子的单价为x，那么苹果的单价就是1.5x，这样数学语言一下子就明确了，所有的已知条件也被应用了，解题的思路也就明确了。

因此，在解题的时候要根据具体的题型找出题目中的关键句，然后根据关键句提炼出其中所包含的数学语言，根据数学语言为之后的等量关系的确定做好充分的准备。

（三）迅速确立等量关系

在应用题的解答中，确立等量关系是教学过程中的重中之重，等量关系的确定首先考评的是学生对于知识点的掌握，然后是对题目类型的分析能力和对题目材料的提炼能力。在新课的教授过程中，等量关系的确立相对比较简单，因此，题目的类型在刚刚学过的课程当中，根据例题能够比较好地找到相应的题型解答思路，也能找到相应的等量关系。但是，在处理一些综合题目的时候，找题目的等量关系就相对来说比较难了。根据上文提到的关键句找到题目中形成等量关系的关键词，例如，“是”“比”“多”“少”“提前”“共”这样明显蕴涵等量关系的字眼，然后根据字眼来确定方程或算式中的等量关系式。数学语言中这些重要的字眼要及时总结，让学生见到这些字眼形成敏感性，知道这些字眼背后的等量关系。除此之外，还要明确常见的等量关系式，如速度、时间、路程问题，工作总量、工作时间和工作效率问题。在单位一的应用题解答中，如果单位一明确已知，那么一般采用乘法进行解答，如果单位一未知，一般用方程或者除法进行解答。把这些思路结合具体的题目进行教授，让学生形成明确的解题思路对于应用题的解答会产生事半功倍的作用。

（四）根据需求进行列式计算

找到等量关系式是应用题能够解答的基础和前提，但是根据需求的列式以及已经列式之后的计算也是很多学生出现错误的一个集中点。在列式的时候要求学过方程的学生尽量用方程进行解答。在解答的时候要注意计算，计算结果是可以自我检查的，不合逻辑的答案、大数额的计算都是有可能出现错误的。苏教版的数学教学中，主要以考查学生的学习能力为主，不会注重学生的计算能力。所以要和学生明确，一旦出现答案的“怪异性”一定要进行追根溯源的检查核算。当然，在计算的过程中也要强调学生列式合理，根据等量关系进行列式，同时，还要严格按照步骤进行解题，即使步骤不能一一体现在考卷中，也要在演算中注意步骤的严谨性，尽量不要跳跃，避免不该有的错误。

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【关键词】 数学；开放型题；提高解题能力；学法指导

课程改革以来，数学开放题逐渐成为中考的热点，各地每年都有不同程度地出现这种类型题。从学生答题情况看，开放题得分率普遍较低。所以教师在教学活动中，要加强学法指导，加强针对性训练，尽可能提高学生解答此类题目的能力。

一、开放型问题分类及特点

纵观数学开放题，常见的有条件开放型，结论开放型，策略开放型，综合开放型等四种不同类型的问题。

（1）条件开放型：条件开放题主要特点是条件不充分，一般采用"执果索因"的方法，需要学生根据所掌握的知识进行逆向思维。解题思路一般是，由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式，这类开放题在中考试卷中较多出现在填空题。

例1．如图，∠DAB=∠CAD，请添加一个条件： ，便得ΔDAB≌ΔCAB。

解：AD=AC，可用边角边证全等；∠ADB=∠ACB，可用角角边证全等；∠ABD=ABC，可用角边角证全等。

（2）结论开放型：结论开放型的解题方法是充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维，这类开放题在中考试卷中，一般出现在解答题型中。

例2．函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，为该图象的对称轴，根据这个图象，你能得到关于该函数的哪些性质和结论？写出四个即可。

解:①顶点在第四象限；②与x轴有两个交点；③a>0；④与y轴交于负半轴；⑤-1

例3．如图O的弦AB、CD的延长线相交于点E.请你根据上述条件，写出一个结论（不准添加新的线段及标注其他字母）并给出证明。(证明时允许自行添加辅助线)

解： ①连结AD、BC，证ΔADE～ΔCBD

证明：连结AD、BC，∠EAD=∠ECB，∠E=∠E

ΔADE～ΔCBD

②连结AC、BD，证ΔACE～ΔDBE

③AE×BE=CE×DE

（3）策略开放型：策略开放题只给出一定的问题情景，条件，解题策略，结论中的两个或全部都要求学生在情景中自行设定和寻找。策略开放型也称设计方案型，这类型的开放性试题的处理方法一般需要模仿、类比、试验，创新和综合运用所学知识，建立合理的数学模型，从而使问题得以解决。这是一种综合性思维，这种类型的开放题在中考试卷中一般出现在阅读题、作图题和应用题中。

例4．如图，在ΔABE和ΔACD中，给出以下四个论断：①AB=AC；②AD=AE；③AM=AN；④ADDC，AEEB.以其中三个论断为题设，填入下面的"已知"栏中，一个论断为结论，填入下面的"求证"栏中，使之组成一个真命题。

已知：如图，在ΔABE和ΔACD中， 。求证： 。

分析：对此题，必须先引导学生找出三组全等形，即ΔADC≌ΔAEB，ΔAMC≌ΔANB，ΔADM≌ΔAEN，再恰当运用三角形全等的判定和性质定理进行创造性思维，才能得出正确解答。

解：

①已知：如图，在在ΔABE和ΔACD中，AD=AE，AM=AN，ADDC，AEEB

求证：AB=AC

②已知：如图，在在ΔABE和ΔACD中，AB=AC，AD=AE，ADDC，AEEB

求证：AM=AN

③已知：如图，在在ΔABE和ΔACD中，AB=AC，AM=AN，ADDC，AEEB

求证：AD=AE

二、开放型题解题策略，思想方法

解题时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜想出结论或条件，然后严格证明，同时，通常要结合以下数学思想方法，分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建模型等。

1.转化与化归思想:是把那些待解决或难解决的问题化归到已有知识范围内可解问题的一种重要的基本数学思想。数学中新知识的学习过程,就是一个在已有知识和新概念的基础上进行化归的过程。因此,化归思想在数学中无处不在，化归思想在解题教学中的的运用可概括为:化未知为已知,化难为易,化繁为简。从而达到知识迁移使问题获得解决。

2.分类与整合思想:是当数学对象的本质属性在局部上有不同点而又不便化归为单一本质属性的问题解决时,而根据其不同点选择适当的划分标准分类求解,并综合得出答案的一种基本数学思想。但要注意按划分标准所分各类间应满足互相排斥,不重复,不遗漏,最简洁的要求，在解题教学中常用的划分标准有：按定义划分；按公式或定理的适用范围划分；按运算法则的适用条件范围划分；按函数性质划分；按图形的位置和形状的变化划分；按结论可能出现的不同情况划分等。

3.函数与方程思想:就是用运动和变化的观点去分析研究具体问题中的数量关系,抽象其数量特征,建立函数关系式,利用函数或方程有关知识解决问题的一种重要的基本数学思想。

4.数形结合思想:将数学问题中抽象的数量关系表现为一定的几何图形的性质(或位置关系)；或者把几何图形的性质(或位置关系)抽象为适当的数量关系,使抽象思维与形象思维结合起来,实现抽象的数量关系与直观的具体形象的联系和转化,从而使隐蔽的条件明朗化,是化难为易,探索解题思维途径的重要的基本数学思想。

总之，开放型题应分类型教学，让学生清楚解题思路，所用思想方法。要有针对性的学法教育，要有针对性的训练。

参考文献

[1]赵国菊.数学开放型问题解法探析[J]

[2]谢雅礼.对构建数学"探究式"课堂教学模式的实践与认识[J]

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关键词：初高中 数学课堂 区别差异

一些初中毕业生以较高的数学成绩升学后，不适应高一级学校的数学教学，相当多的高一学生数学不及格，出现了严重的两极分化，有少数学生甚至对学习失去了信心.我想造成这一结果的主要原因是这些同学不了解高中数学的特点，学不得法，从而造成成绩滑坡.下面我就谈谈初高中数学的差异性。

一、知识差异

初中数学知识少、浅、难度容易、知识面笮。高中数学知识广泛，将对初中的数学知识推广和引伸，也是对初中数学知识的完善。如：初中学习的角的概念只是“0°—180°”范围内的，但实际当中也有720°和“-300°”等角，为此，高中将把角的概念推广到任意角，可表示包括正、负在内的所有大小角。又如：高中要学习《立体几何》，将在三维空间中求一些几何实体的体积和表面积；还将学习“排列组合”知识，以便解决排队方法种数等问题。如：①三个人排成一行，有几种排队方法，（ =6种）；②四人进行乒乓球双打比赛，有几种比赛场次？（答： =3种）高中将学习统计这些排列的数学方法。初中中对一个负数开平方无意义，但在高中规定了i2= -1，就使-1的平方根为±i.即可把数的概念进行推广，使数的概念扩大到复数范围等。这些知识同学们在以后的学习中将逐渐学习到。

二、学习方法的差异

1.初中课堂教学量小、知识简单，通过教师课堂教慢的速度，争取让全面同学理解知识点和解题方法，课后老师布置作业，然后通过大量的课堂内、外练习、课外指导达到对知识的反反复复理解，直到学生掌握。而高中数学的学习随着课程开设多（如：高一有八门课同时学习），每天至少上八节课，自习时间四节课，这样各科学习时间将大大减少，而教师布置课外题量相对初中减少，这样集中数学学习的时间相对比初中少，高中数学教师将不能向初中那样监督每个学生的作业和课外练习，就不能向初中那样把知识让每个学生掌握后再进行新课。

2.模仿与创新的区别。初中学生模仿做题，他们模仿老师思维推理较多，而高中模仿做题、思维学生有，但随着知识的难度大和知识面广泛，学生不能全部模仿，即使就是学生全部模仿训练做题，也不能开拓学生自我思维能力，学生的数学成绩也只能是一般程度。现在高考数学考察，旨在考察学生能力，避免学生高分低能，避免定势思维，提倡创新思维和培养学生的创造能力培养。初中学生大量地模仿使学生带来了不利的思维定势，对高中学生带来了保守的、僵化的思想，封闭了学生的丰富反对创造精神。如学生在解决：比较a与2a的大小时要不就错、要不就答不全面。大多数学生不会分类讨论。

三、学生自学能力的差异

初中学生自学能力低，大凡考试中所用的解题方法和数学思想，在初中教师基本上已反复训练，老师把要学生自己高度深刻理解的问题，都集中表现在他的耐心的讲解和大量的训练中，而且学生的听课只需要熟记结论就可以做题（不全是），学生不需自学。但高中的知识面广，知识全部要教师训练完高考中的习题类型是不可能的，只有通过较少的、较典型的一两道例题讲解去融会贯通这一类型习题，如果不自学、不大量的阅读理解，将会使学生失去一类型习题的解法。另外，科学在不断的发展，考试在不断的改革，高考也随着全面的改革不断的深入，数学题型的开发在不断的多样化，近年来提出了应用型题、探索型题和开放型题，只有学生的自学去深刻理解和创新才能适应现代科学的发展。其实，自学能力的提高也是一个人生活的需要，他从一个方面也代表了一个人的素养，人的一生只有18---24年时间是有导师的学习，其后半生，最精彩的人生是人在一生学习，自学最终达到了自强。

四、思维习惯上的差异

初中学生由于学习数学知识的范围小，知识层次低，知识面笮，对实际问题的思维受到了局限，就几何来说，我们都接触的是现实生活中三维空间，但初中只学了平面几何，那么就不能对三维空间进行严格的逻辑思维和判断。代数中数的范围只限定在实数中思维，就不能深刻的解决方程根的类型等。高中数学知识的多元化和广泛性，将会使学生全面、细致、深刻、严密的分析和解决问题。也将培养学生高素质思维。提高学生的思维递进性。

五、定量与变量的差异

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关键词：小学数学；应用题；教学；教师

一、强化基础训练，掌握数量关系

基本的数量关系是指加、减、乘、除法的基本应用，比如：求两个数量相差多少，用减法解答；求一个数是另一个数的百分之几，用除法解答；求一个数的几倍是多少，用乘法解答等。任何一道复合应用题都是由几道有联系的一步应用题组合而成的。因此，基本的数量关系是解答应用题的基础。在复习时，我特意安排了一些补充条件的问题和练习，目的是强化学生的基础知识。使学生看到问题立刻想到解决问题所必需的两个条件；看到两个条件能迅速想到可以解Q什么问题。在此基础上再出些有助于训练发散性思维的练习题。如给出两个条件：甲数是10，乙数是8，要求学生尽可能地多提出些问题。练习时，先要求学生提出用一步解答的问题，如“甲数比乙数多多少”、“乙数比甲数少多少”、“乙数占甲数的几分之几”等。然后再要求学生提出用两步解答的问题，如“甲数比乙数多几分之几”、“乙数比甲数少几分之几”、“乙数占两数和的几分之几”等。对于常用的数量关系，复习时我还采用给名称让学生编题的练习形式。如已知单价和总价，编求数量的题目；已知路程和时间，编求速度的题目等。通过这种形式的训练，使学生进一步牢固掌握基本的数量关系。为解答较复杂的应用题打下良好基础。在编题训练的过程中，还要注意指导学生对数学术语的准确理解和运用。只有准确理解，才能正确运用。如增加、增加到、增加了，提高、提高到、提高了，扩大，缩小等。发现错误，及时纠正。对易混的术语，如减少了和减少到等要让学生区别清楚。

二、综合运用知识，拓宽解题思路

能够正确解答应用题，是学生能综合运用所学知识的具体表现。应用题的解答一般采用综合法和分析法。我们在复习时侧重教给分析法。例如：李师傅计划做820个零件，已经做了4天，平均每天做50个，其余的6天做完，平均每天要做多少个？分析方法是从问题入手，寻找解决问题的条件。即：①要求平均每天做多少个，必须知道余下的个数和工作的天数（6天）这两个条件。②要求余下多少个，就要知道计划生产多少个（820个）和已经生产了多少个。③要求已经生产了多少个，需要知道已经做的天数（4天）和平均每天做的个数（50个）。在复习过程中，我注重要求学生把分析思考的过程用语言表述出来。学生能说清楚，就证明他的思维是理顺的。既要重视学生的计算结果，更要重视学生表述的分析过程。

三、系统整理归纳，形成知识网络

在应用题复习中，一题多解是沟通知识之间内在联系的一种行之有效的练习形式。它不但有助于学生牢固地掌握数量关系，而且可以开阔解题思路，提高学生多角度地分析问题的能力。例如：一个修路队，原计划每天修80米，实际每天比原计划多修20%，结果用12.5天就完成任务。原计划多少天完成任务？可有下列解法：①80×（1+20%）×12.5÷8=15（天）②12.5×（1+20%）=15（天）③设计划用x天完成。80x=80×（1+20%）×12.5x=15④设原计划用x天完成。80∶80×（1+20%）=12.5∶xx=15

四、进行同类题型归类，并有针对性的进行训练

小学的数学应用题可以分为若干种类型，比如鸡兔同笼问题等。如果教师能够对这些应用题进行同一类型的归类，并针对一个类型进行反复的习题训练，那么学生就会对此类型题有一个全面深刻的认知。当然我们这里所说的有针对性的训练并不等于题海战术，题海战术主要指对学生进行习题的量的训练，使得学生形成思维定式，从而提高答题的正确率，这种教法不能够适应目前的素质教育，相反学生在反复的练习中会失去对学习的兴趣，最终出现逆反心理，教育就会事倍功半。而同类型题的归类，则是让学生对同一类型数学应用题形成了一个全面系统的认识。小学生的理解能力比较低，教师适当的进行同类题型的归类，既有助于学生解决数学应用题，同时也有利于培养学生的归类思想。有助于以后的各科学习。

五、使用数学错题本，进行错因归类

在教育一线的教师们都知道，学生对于一些自己做错的题型，即使经过老师的讲解和订正，但是如果出现同题，学生的错误率还是比较高的。针对这一问题，我们小学的数学教学要求学生应该人手一个错题本，将自己做错的应用题进行双色笔的记录。冰妖利用课余时间，或者是每天家庭作业完成之后、写家庭作业之前等零散的时间，对当天的错题本进行重复记忆和分析。如果允许，教师或者家长应该陪伴孩子分析错因，进行思维强化。我在教学的过程中始终使用数学错题本，学生的数学成绩明显提升，而且学生学习数学的难度降低，自然对数学学习越来越感兴趣。正所谓兴趣是最好的老师，能有什么比让学生爱上数学更有意义的呢。综上所述，小学数学的应用题是小学数学教学中的一个难点，这是因为应用题具有一定的解决实际问题的能力，是学生未来生活的一个基本技能，同时小学数学的应用题也是教学中的一个难点，主要是因为小学生的认知水平和思维水平有局限性，对于生活中的常见问题停留在理论上，难以进行深入的理解。我们文章中从小学数学应用题教学的思路到方法提供了五项比较可行性的操作办法，当然一些小学数学教师可能已经在小学数学的应用题问题上走在了教育研究的前言，仅以我的一家之言，难免有限，希望广大的小学数学教师能够一道致力于学生数学兴趣的开发，小学数学应用问题的高效教学的研究，共同提高小学生数学的综合素养，为国家培养优秀学生。

参考文献：