函数最值的应用精品(七篇)

序论：写作是一种深度的自我表达。它要求我们深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隐藏在内心深处的真相，好投稿为您带来了七篇函数最值的应用范文，愿它们成为您写作过程中的灵感催化剂，助力您的创作。

篇(1)

关键词：最大值 最小值 最值 边际

中图分类号:F224 文献标识码:A

文章编号:1004-4914（2011）12-082-02

在工农业生产、科学技术研究、经营管理中，经常要遇到在一定条件下，怎样用料最省、产量最多、效率最高、成本最低等问题，这些问题在数学上有时可归结为求某一函数的最大值或最小值的问题。随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，运用微分中的最值可以对经济活动中的实际问题进行最优化分析，从而为企业经营者的科学决策提供依据。

一、最值的概念

1.最大值。设函数f（x）在区间[a,b]上连续，x0为区间[a,b]上某一点。当对于任意x∈[a,b]，有f（x）≤f（x0），则称f（x0）为f（x）在[a,b]上的最大值，称点x0为f（x）在[a,b]上的最大值点。

2.最小值。设函数f（x）在区间[a,b]上连续，x0为区间[a,b]上某一点。当对于任意x∈[a,b]，有f（x）≥f（x0），则称f（x0）为f（x）在[a,b]上的最小值，称点x0为f（x）在[a,b]上的最小值点。

最大值和最小值统称为最值。

二、最值在经济中的应用

最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。

1.最大利润问题。

例1：某工厂在一个月生产某产品Q件时, 总成本为C（Q）=5Q+200（万元），得到的收益为R（Q）=10Q-0.01Q2（万元），问一个月生产多少产品时, 所获利润最大?

解：由题设，知利润为

L（Q）=R（Q）-C（Q）=5Q-0.01Q2-200（0

显然最大利润一定在（0，+∞）内取得。

令L'（Q）=5-0.02Q=0，

得Q=250。又由

L''（Q）=-0.02

所以L（250）=425（万元）为L的一个极大值。

从而一个月生产250件产品时，可取得最大利润425万元。

2.最大收益问题。

例2：某商品的需求量Q是价格p的函数Q=Q（p）=75-p2，问p为何值时，总收益最大？

解：总收益R（p）=pQ=75P-P3，（p>0）

令R'（p）=75-3p3=0，

得p=5，又

R''（p）=-6p?圯R''（5）

从而R（5）=250，为收益R（p）的极大值。

即当价格为5时，有最大收益250。

3．经济批量问题。

例3：某商场每年销售某商品a件，分为x批采购进货，已知每批采购费用为b元，而未售商品的库存费用为c元/年・件。设销售商品是均匀的，问分多少批进货时，才能使以上两种费用的总和为最省？(a,b,c为常数，且a,b,c>0）。

解：显然，采购进货的费用W1（x）bx，

两次求导：C'（Q）=-6+2Q

令C'（Q）=0 则Q=3

当Q=3时，平均成本最低。

最小的平均成本C（Q）=15-18+9=6

而边际成本函数C'（Q）=15-12Q+3Q2

当Q=3时，C'（Q）=15-36+27=6

可见最小平均成本与边际成本相等。

边际的意义是：当产量在Q的基础上再增加一个单位时，成本C（Q）的增量。

三、总结

综上所述，对经营者来说，导数在经济学中的应用颇为广泛，而且在日常生活中、生产和科研中，常常会遇到最值的问题，不仅而已，从上面的例子可以看出，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为的经营决策提供可靠依据。

参考文献：

1.陆庆平.以企业价值最大化为导向的企业绩效评价体系――基于利益相关者理论[J].会计研究,2006(3)

2.高哲.浅谈微积分在经济中的应用[J].中国科技博览,2009（7）

3.李春萍.导数与积分在经济分析中的应用[J].商业视角，2007（5）

4.向菊敏.微积分在经济分析活动中的应用[J].科技信息，2009（26）

5.褚衍彪.高等数学在经济分析中的运用[J].枣庄学院学报，2007（10）

6.谭瑞林，刘月芬.微积分在经济分析中的应用浅析[J].商场现代化,2008（4）

7.顾霞芳.浅谈导数在经济中的应用[J].职业圈，2007（4）

篇(2)

关键词：最值问题； 数学教学； 举例

一、灵活应用不等式转换

例1.设 且 ，求 的最大值。

分析：注意到 不是定值，而条件 中无根号，因而想到去掉根号凑成 的形式。

一般的：当 且 ，则 的最大值是 （其中 都是常数）

此例可见灵活应用不等式并不是无目标的猜想，其要求我们不墨守陈规，化生疏为熟悉，在推理过程中做到严密正确。

二、合理使用配方法

例2.求函数 的最值。

在应用配方法前，注意隐含条件的思维方法，不可盲目使用导致最值的扩大或缩小，注意条件的严密性。

三、充分利用数形结合

例3.求函数 的最小值

① 选取坐标的科学严谨性

② 转化数学思维的灵活性

四、谨慎使用判别式法

例4.求函数 的最值

① 用判别式法求函数最值时，解 0中，其“>”与“=”有一个成立即可。故写出最值时，务必考虑到它的“极端”情况“=”能否成立。

② 由于函数到方程，中间将有个变形（不一定是恒等变形）过程，将原函数转化为关于 的二次方程，在解关于 的不等式。

③ 若忽视隐含条件就容易出错，故务必考虑到其函数本身的取值，应谨慎使用。

五、合理使用换元法

当已知函数的次数较高，则想方设法降次是必须解决的任务。所以应用换元将是一个有力的工具。

例5.求函数 的最值。

六、奇妙的增量代换法

例6.求函数 的最大值和最小值。

解：函数 的定义域是 。所以 是4与一个增量之和，且这个增量在 内取值。

当 时， 取得最大值2；

当 时， 其的最小值1。

利用增量代换法取得来解决和处理最值问题，是中学数学中的一种重要方法，可表现出奇妙的作用。

七、利用导数求最值

例7.一个容器，下半部是圆柱上半部是半球，且圆柱底面半径和半球的半径相等；设容器的表面积为s，问圆柱的高与底面半径之比为何值时，容器的容量最大？

解：设圆柱的高为h。底面半径为R，则

（1）

容器的容积 （2）

把（1）代入（2），整理得

令 ，即 解得 （舍去负值）。

经检验，这个R值能使V有最大值，代入（1）得

故当 时，容器容积最大。

八、应用函数求最值

例8.已知 所在平面内有一条直线 过其直角顶尖 ，且 在直线的同一侧，求 以 为轴旋转所得旋转体的最大体积。

解：所得旋转体的体积等于一个圆台的体积减去一个小圆锥和一个大圆锥的体积，分别通过A.B做 的垂线，垂足为D.E，设圆台上、下底面半径分别为 ，大、小圆锥的高分别为 ，设 ，则

故所得旋转体的体积为

上两例，不管用导数还是有界函数求最值，都选择了某一几何量作为自变量，建立函数解析式。这是求最值问题的一种有效方法。

九、以市场经济为背景

例9.某旅行社在某地组织旅游团到北京参观，共需6天，每人往返机票、食宿费、参观门票等费用共需3200元，如果每人收费标准为4600元。则只有20人参加旅游团；高于4600元时，没有人参加，如果每人收费标准从4600元降低100元，参加旅游团人数就增加10人；试问：每人收费标准定为多少时，该旅行社所获得利润最大？

（职高教材基础版第一册P137第32题）

解这类营销应用问题需理解有关名词的含义，如“利润=销售价-成本价”，掌握有关函数及计算方法：

解：设每人收费标准为 元 ，则收费标准下降了4600- 元，旅游团人数增加了 人，根据题意得利润 （元）与收费标准 （元）的函数关系式：

整理得：

当 =4000元时， =6400元

答：当收费标准定为4000元时，该旅行社所获得利润最大，最大利润为6400元。

综上各例，无论用哪种方法求最值，奇妙的规律性是解决最值问题的关键；我们在教学中应积极培养学生的洞察能力来处理不同题型，才能进一步提高数学教学的质量。

参考文献

[1] 苏居宁.《立体几何中的最值问题》《中学数学研究》1996-8

[2] 邱志明.《关于函数最值问题的教学》.《中学数学研究》2003-10

[3] 邱润发.《用函数解决市场经济的最值问题》.《数学通讯》2005-2

篇(3)

关键词： 最值；综合性；灵活性；发散思维

中图分类号： G427 文献标识码： A 文章编号： 1992-7711（2013）22-091-1

函数最值定义：函数最值：一般地，设函数的定义域为A.若存在x0∈A，使得对于任意x∈A，有f（x0）≥f（x）恒成立，则称f（x0）为函数f（x）的最大值，记为f（x）max=f（x0）；若存在x0∈A，使得对于任意x∈A，有f（x0）≤f（x）恒成立，则称f（x0）为函数f（x）的最小值，记为f（x）min=f（x0）.

分式三角函数最值求解方法很多，现主要归纳为以下几点：1.拆项观察；2.反解法；3.数形结合法；4.应用函数单调性求解法.如何求函数y= sinx-2 2sinx+3 的最值.

一、拆项观察法

分析 可将原式化为整式和分式两部分，其中分式部分：分子是常数、分母是关于变量sinx的多项式.

解 在原函数仅含有变量sinx，于是原函数可进行如下整理：

y= sinx-2 2sinx+3 = 1 2 （2sinx+3）- 7 2 2sinx+3 = 1 2 - 7 4sinx+6 .

又由-1≤sinx≤1知2≤4sinx+6≤10，

于是有- 7 2 ≤- 7 4sinx+6 ≤- 7 10 ，

所以 -3≤y≤- 1 5 .

因此 ymin=-3，ymax=- 1 5 .

二、反解法（三角函数有界性）

对于求形如y= ct+d at+b （其中t为三角函数）分式最值问题，可用反解法，即把原分式y= ct+d at+b 整理成t=- by-d ay-c ，然后由t的有界性得出y的取值范围.

例2 求y= sinx-2 2sinx+3 的最值.

解 用反解法，由y= sinx-2 2sinx+3 得y・（2sinx+3）=sinx-2，

可整理为 sinx= -3y-2 2y-1 ，

由|sinx|≤1知 -3y-2 2y-1 ≤1，

易解得 -3≤y≤- 1 5 .所以 ymin=-3，ymax=- 1 5 .

三、数形结合法（斜率与两点之间的距离有两种情形）

数形结合法即将代数问题转化为几何问题来处理.根据所给表达式的特点，在坐标平面上考虑各种曲线间的关系，以获得该三角函数问题的最值.

例3 y= sinx-3 cosx-2 的最值.

解 设P（cosx，sinx），Q（2，3）即y是直线PQ的斜率的取值范围点P的轨迹是圆a2+b2=1，即求圆上点与Q点连线斜率最值.由图知当PQ与圆相切时，斜率取得最值.

设PQ的方程为y-3=k（x-2），即kx-y+3-2k=0.

由相切条件得原点到直线的距离等于1得

|3-2k| 1+k2 =1，即k= 6±2 3 3 .

因此

ymin= 6-2 3 3 ，ymax= 6+2 3 3 .

注 此题中点P的轨迹，若是直线又如何呢？例8将为你介绍.

四、应用函数单调性求解法

例4 求f（x）= x+sinx 2+cosx （0≤x≤ π 2 ）的最值.

分析 可先证明f（x）在[0， π 2 ]上是单调增函数.

解 设x1，x2∈[0， π 2 ]，且x1

f（x1）-f（x2）= x1+sinx1 2+cosx1 - x2+sinx2 2+cosx2 =

2（x1-x2）+2（sinx1-sinx2）+sin（x1-x2）+x1cosx2-x2cosx1 （2+cosx1）（2+cosx2）

< 2（x1-x2）+2（sinx1-sinx2）+sin（x1-x2）+（x1-x2）cosx1 （2+cosx1）（2+cosx2）

所以

f（x1）

因此f（x）min=f（0）=0，f（x）max=f（ π 2 ）= π+2 4 .

注 此种解法仅实用于函数在给定区间是单调函数.

以上探讨了多种求分式三角函数最值的方法，由于三角函数最值问题题目类型的多样性，在求此类问题时，我们会发现其中许多题型的解法并不唯一，一题可能有多种方法求解.诸多方法也并非是独立的，解一道题目可能会应用多种方法，才能最终解出最值.并且在求解的过程中，我们要学会进行转化的思想.也许所给题型不是以上列举的类型，但是我们需要判断是否能够转化为已知类型的问题来求解，这就需要我们有一定的转化变换技巧和思想.因此，在解此类问题时不仅要灵活运用三角变换的方法和技巧，还要充分注意代数知识和几何知识的运用，以提高解决此类问题的能力.

[参考文献]

篇(4)

一、求曲线上某点的切线方程

求切线方程是解决曲线切线问题的基础，因此我们必须准确理解导数的几何意义，并牢固掌握求导法则.求曲线上某点的切线方程又可以分两类：⑴此点为切点，这就意味着不用再求出切点，可以直接求切线方程了；⑵求过某点的切线方程，点在曲线上，这类问题就要求我们注意了，此点是否为切点还要我们验证才知道，如果我们一开始就认定此点为切点，那就很容易出错了.此点为切点的题目我们见得多了，但也很可能出现在曲线上的点却不是切点，这就要求我们先判断再解题了.

例1.曲线上点，求过点的切线方程.

分析：点在已知曲线上，本题要求的是过点的切线方程，但点不一定是切点，故我们解题时要先求出切点坐标.

解设切点坐标为，则 ，

则处的切线方程是 .

该切线过点，

化简得：，

解得： 或，

过点的切线的斜率是 或 ，

过点的切线方程为：

或.

即所求的切线方程是： 或 .

评注：我们做这类题型时往往会把点作为唯一一个切点，这样的话我们就只求出点处的切线，而漏解另外一条切线.从本题求解过程我们不难悟出求切点坐标的方法，这很重要，要记住.

应用导数求切线方程的一般步骤：

（1）设切点.

（2）求.

（3）写出切线方程：.

2.在解析几何中求最值

在解析几何中的最值问题一般是求两条曲线之间的最短距离，在高考中常出现的类型是求一条抛物线（或双曲线）到一条直线的最短距离，这类题的解题步骤一般为：先求出与直线平行的抛物线（或双曲线）的切线的切点坐标，然后由点到线的距离公式得出所求的距离.

例2 求抛物线的点到直线的最短距离.

解设与直线平行的抛物线的切线的切点坐标为，

则，

， 因此，切点坐标为，

切点到直线的距离为，且 .

所以抛物线上点到直线的最短距离为.

评注：求抛物线上的点到直线的最短距离，应先求出与直线平行的抛物线的切线的切点坐标，再求出该切点到直线的距离就是所求的最短距离了.

3.求函数的解析式

例3. 已知函数的图像过点，且不等式对于一切实数都成立，求的解析式.

分析：由所给不等式的几何意义知，抛物线夹在直线与抛物线之间，而直线与抛物线只有唯一公共点，故知直线与抛物线、相切于同一个点，此为解题的关键.

解的图像过点，

①

，则

②

由①、②解得：，

则有.

则有.

设、、，

我们可以知道的图像夹在与之间，又与的图像有且只有一个公共点，故直线与抛物线、切于同一点.

而，即

，，.

所以所求函数为：.

评注：函数的解析式往往要结合该函数的图像特点来解决，而应用导数来解函数的解析式也可以使问题简化.上面的例题用函数的图像特点可以解出、的值，而要解出值就要对所求函数进行求导，再把切点的坐标代入就可以求出值了，进而可以求出函数的解析式.

4.解与函数图像特征有关的问题

例4.设函数的图像为，函数的图像为，已知在与的一个交点的切线相互垂直.

（1）求，之间的关系；

（2）若，，求的最大值.

解（1）对于：，有

对于：，有

设与的一个交点为.

由题意知过交点的两条切线互相垂直，

，

即 ①

又点在与上，故有

，

所以②

由①、②消去，可得

（2）由于，且

当且仅当时取等号，故的最大值为.

评注：本题以函数图像为背景考查导数的几何意义和语言转化能力，而应用导数的几何意义是解决这类问题的关键.

不管是求函数的解析式还是解与函数图像特征有关的问题，这往往要观察函数图像的特征，结合导数的几何意义解题，这样会使解题过程变得简便.

5.求含参数的函数的单调性

有时在求函数的单调性时，常常搭配几个参数来增加题目的难度，像这类型的题通常需要对参数经分类讨论求函数的单调性.

例5.已知，求函数的单调区间.

解

（1）当时

若，则；若，则 ，

所以当时，函数在区间内为减函数，

函数在区间内为增函数.

（2）当时

由，解得或，

由，解得 ，

所以，当时，函数在区间内为增函数，在区间内为减函数.

（3）当时

由，解得

由，解得或，

所以当时，函数在区间内为增函数，

函数在区间内为减函数.

评注：不管是求不含参数的函数的单调性还是求含参数的单调性，都要先对所求函数进行求导，通过对所求导数的大于零（或小于零）的值来判断所求函数的单调性，而在求含参数的函数的单调性时就要对参数进行分类讨论后再判断.

6. 求函数极值

例6. 求函数的极值.

解，

令，解得，，，

当变化时，，的变化情况如下表:

所以，当时，有极大值，，

当时，有极小值，.

评注：求函数的最值重要的是先求出的值，然后根据在定义域中的变化，、随着的变化情况再判断函数的极大值和极小值.

7.求函数最值

例3.4求函数在区间上的最大值与最小值.

解，

令，有 解得

，，

当变化时，，的变化情况如下表：

从上表可知，最大值是17，最小值是8.

评注：函数的最值要求与函数的极值区分，函数的最值不一定是极值，函数的极值也不一定是最值，求函数的最值要求在极值和端点中比较，最大的值才是最大值，而最小的值就是最小值.函数的最值是在求出函数极值的基础上再与函数的端点值的比较后再得出所求的最大值（或最小值）.

8.求数列的最大（小）项

用导数求函数的最值应先求出函数极值再判断，而求数列最大（小）项，我们可以作辅助函数，通过判断辅助函数的单调性再得出数列的最大（小）项.

例8.已知数列｛｝是通项是，求数列｛｝的最大项.

解作辅助函数 ，

则

令解得：

令解得： 或

在区间上是增函数，在区间上是减函数.

在区间内，

当时，函数取到最大值.

对，

，

即数列｛｝的最大项是3，且.

篇(5)

三角函数的最值问题的类型很多，其常见类型有以下几种.

一、形如y=a+bsinx（或cosx，x∈R）的最值

方法：利用正、余弦函数的有界性解决.

例1：求y=+cos4x的最值.

解：y=+cos4x

当cos4x=1即x=（k∈z）时，有y=1；

当cos4x=-1即x=+（k∈z）时，有y=.

二、形如y=asinx+bcosx（一次齐次）的最值

方法：用辅助角公式y=sin（x+θ）化为形如y=a+bsinx来解决.

例2：求函数y=sinx+cosx+2的最大值和最小值.

解：y=sinx+cosx+2=sin（x+）+2

当sin（x+）=1即x=2kπ+（k∈z）时，有y=3；

当sin（x+）=-1即x=2kπ-（k∈z）时，有y=1.

三、形如y=asinx+bsinxcosx+ccosx（二次齐次）的最值

方法：①形式为次数相同角相同，次数不同角不同；

②二次的用二倍角公式降幂；

③用辅助角公式化为形如y=a+bsinx来解决；

③若含有常数项，方法同上.

例3：求函数y=sinx+2sinxcosx+3cosx的最小值、最大值.

解：y=sinx+2sinxcosx+3cosx

=sin2x+2cosx+1

=sin2x+cos2x+2

=sin（2x+）+2

当sin（2x+）=-1时，有y=2-.

当sin（2x+）=1时，有y=2+.

四、形如y=asinx+bsinx+c（x∈z）的最值

方法：①形式为次数相同角度不同或次数不同而角度相同.

②借助于二次函数在闭区间上的值域解决.

例4：如果|x|≤，求函数f（x）=cosx+sinx的最大值、最小值.

解：f（x）=cosx+sinx=-sinx+sinx+1=-（sinx-）+

设sinx=t得y=-（t-）+

由题设|x|≤，

-≤sinx≤，-≤t≤.

因为f（x）在[-，]是增函数，在[，]上是减函数，

当x=-时，f（x）=；

当x=时，f（x）=.

变式1：求函数y=cos2x-cosx+2的最小值；

变式2：求函数y=cosx-2acosx-a的最大值；

变式3：sinx+cosx+a=0有实数解，求a的取值范围.

五、形如求y=x+或y=sinx-cosx+sinxcosx的最值

方法：用三角代换求某些代数函数的最值.

例5：求函数y=x+的最大值、最小值.

解：x∈R

可设x=sinθ（-≤θ≤）

则有y=sinθ+|cosθ|

-≤θ≤

cosθ≥0

y=sinθ+cosθ=sin（θ+）

-≤θ≤

-≤θ≤≤π

-1≤sin（θ+）≤

当θ=-，即x=-1，y=-1；

当θ=-，即x=，y=.

例6：求y=sinx-cos+sinx+cosx的最大值和最小值.

解：设t=sinx-cosx=sin（x-），则-≤t≤，且两边平方可得sinxcos=.

所以y=t+=-（t-1）+1，

篇(6)

例1.已知曲线y=x3-3x2-1，过点（1，-3）作其切线，求切线方程。

分析：根据导数的几何意义求解。

解：y′=3x2-6x，当x=1时y′=-3，即所求切线的斜率为-3.故所求切线的方程为y+3=-3(x-1)，即为：y=-3x.

1、方法提升：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P（x0，y=f(x0)）处的切线的斜率。既就是说，曲线y=f(x)在点P（x0，y=f(x0)）处的切线的斜率是f′(x0)，相应的切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0)。

二、用导数判断函数的单调性

例2．求函数y=x3-3x2-1的单调区间。

分析：求出导数y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值范围即可。

解：y′=3x2-6x，由y′>0得3x2-6x﹥0，解得x﹤0或x﹥2。

由y′<0得3x2-6x﹤0，解得0﹤x＜2。

故所求单调增区间为(-∞，0)∪(2，+∞)，单调减区间为(0，2)。

2、方法提升：利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定f(x)的定义域；（2）求导数f′(x)；（3）在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；（4）确定f(x)的单调区间.若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论。

三、用导数求函数的极值

例3．求函数f(x)=(1/3)x3-4x+4的极值

解：由f′(x)=x2-4=0，解得x=2或x=－2.

当x变化时，y′、y的变化情况如下：

当x=－2时，y有极大值f(-2)=－（28/3），当x=2时，y有极小值f(2)=－(4/3).

3、方法提升：求可导函数极值的步骤是：（1）确定函数定义域，求导数f′(x)；（2）求f′(x)=0的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根（如x0）的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化，如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值.。注意：如果f′(x)=0的根x=x0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值。四、用导数求函数的最值

五、证明不等式

5、方法提升：利用导数证明不等式是近年高考中出现的一种热点题型。其方法可以归纳为“构造函数，利用导数研究函数最值”。

总之，导数作为一种工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性，极值，最值以及切线问题。在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维，简化解题过程的目的，更在于使学生掌握一种科学的语言和工具，进一步加深对函数的深刻理解和直观认识。

【摘要】新课程利用导数求曲线的切线，判断或论证函数的单调性，函数的极值和最值。导数是分析和解决问题的有效工具。

【关键词】导数函数的切线单调性极值和最值

导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。新课程增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具。函数是中学数学研究导数的一个重要载体，函数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法。近年好多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题。本人结合教学实践，就导数在函数中的应用作个初步探究。

有关导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值和最值，利用函数的单调性证明不等式，这些类型成为近两年最闪亮的热点，是高中数学学习的重点之一，预计也是“新课标”下高考的重点。

参考资料：

篇(7)

关键词：二次函数；区间；最值问题

中图分类号：G632　文献标识码：A　文章编号：1002-7661（2012）24-132-01

二次函数是中学数学中的重要函数，它的性质及应用是高考的重点考查内容，那么在本节，一个难点的问题是“二次函数在区间上的最值问题”这个问题出现在高中教材必修一教材中，对于刚上高中的学生而言，应该算作一个重点问题也是一个难点问题，那么我们如何帮助学生解决这一问题呢？本人做了一下归纳，希望对学生有所帮助。二次函数在区间上的最值问题，一般分为三大类，（1）定函数定区间（2）动函数定区间；（3）定函数动区间

具体如何解决，本人认为影响二次函数在闭区间上的最值主要由三个因素：抛物线的开口方向，对称轴，和区间位置。二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，他只能在区间端点或二次函数图象的顶点处取得，三大类问题都遵循以下方法。

二次函数在闭区间上的最值讨论的一般方法：

当a＞0时，　f（x）在区间[p，q]上的最大值为M，最小值为m。令X0=（p+q）

（1）若　＜p，则f（p）=m，f（q）=M；

（2）若p≤　＜X0，z则f（　）=m，　f（q）=M；

（3）若X0≤　＜q，则f（p）=M，　f（　）=m；

（4）若　≥q，　f（p）=M，　f（q）=m；

当a＜0时，f（x）在[p，q]上的最大值与上述最小值讨论一致，而最小值类似上述最大值讨论。

问题一　定函数定区间

例1求函数f（x）=2x2-4x+3在[3，5]上的最值。

解：配方的f（x）=2（x-1）2+1，所以函数的对称轴为x=1.又因为1＜3.所以函数在x=3处获得最小值，在x=5处获得最大值。

问题二　动函数定区间

例2求函数y=　x2-2ax-1在[0，2]上的最值。

分析；有y=（x-a）2-（a2+1）可知对称轴为直线x=a是一个变量，应分a＜0，0　≤a≤1，　1＜a≤2，a＞2四种情况分别讨论。

解：结合二次函数的图象，观察对称轴直线x=a与区间[0，2]的位置关系，得

①当a＜0时，ymin=f（0）=-1　ymax=f（2）=3-4a，

y∈[-1，3-4a]；

②当0　≤a≤1时，ymin=-（a2+1），ymax=f（2）=3-4a，

y∈[-（a2+1），3-4a]；

③当1＜a≤2时，ymin　=-（a2+1），ymax　=f（0）=-1，

y∈[-（a2+1），-1]；

4）　④a＞2时，ymin=f（2）=　3-4a，　ymax　=f（0）=-1

y∈[3-4a，-1].

问题三　定函数动区间

例4　设函数f　（x）　=　x2-4x-4的定义域为[t－2，t－1]，　t∈R，求函数的最小值＆（t）的解析式。

解：（1）f　（x）　=　（x-2　）2-8

①当[t－2，t－1]　[2，+∞），即-2≥2时，

f　（x）min=　f　（t-2）=　（t-4）2-8

②当[t-2，t-1]　（-∞，2]，即

t-1≤2时，f　（x）min=　f　（t-1）=　（t-3）2-8

③t-2＜2＜t-1，即3

f　（x）min=　f　（2）=-8

小结：（1）解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为y=a（　x-m　）2+n的形式的顶点（m，n）或对称轴方程x=m.